Sejam alpha in K e r in R e A in Mn, m então mostre que:
alpha(r A)=(alpha r) A

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a propriedade de associatividade mista de escalares em matrizes, ou seja, que para alphain K, rinR e AinMn,m(K) vale
alpha,(rA);=;(alpha r),A
Para isso vamos usar que a multiplicação de um escalar por uma matriz é feita entrada a entrada e que a multiplicação em K (e em R) é associativa.

Passo 2

Pela definição de multiplicação escalar em matrizes temos, para cada linha i e coluna j,
(rA)ij ;=; r;Aij

Passo 3

Agora aplique alpha a esta matriz:
l(alpha,(rA)r)ij =alpha;l((rA)ijr) =alpha,(r,Aij)

Passo 4

Como a multiplicação de escalares em K (e em R) é associativa,
alpha,(r,Aij) =(alpha,r),Aij
Mas (alpha r),A também é definido entrada a entrada, logo
(alpha r),A)ij=(alpha r),Aij

Resposta

Portanto, para todo i,j as entradas coincidem e concluímos
alpha,(rA) ;=; (alpha r),A

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