Sejam alpha in K e r in R e A in Mn, m então mostre que:
(alpha+r) A=alpha A+r A

Passo 1

Resumo do enunciado: temos alphain K, rinR e AinMn,m(K). Queremos provar a propriedade distributiva da multiplicação escalar em matrizes, ou seja, mostrar que
(alpha+r)A = alpha A + rA
.

Passo 2

Escrevendo A=(aij), pela definição de multiplicação escalar a entrada (i,j) de (alpha+r)A é
(alpha+r),aij
.

Passo 3

Como em K vale a distributividade da multiplicação sobre a soma, cada entrada satisfaz
(alpha+r),aij = alpha,aij + r,aij
.

Passo 4

Logo, a matriz (alpha+r)A pode ser escrita como soma de duas matrizes cujas entradas são alpha,aij e r,aij, respectivamente. Ou seja,
(alpha+r)A = (alpha,aij) + (r,aij)
.

Passo 5

Pela definição de multiplicação escalar, as matrizes (alpha,aij) e (r,aij) são exatamente alpha A e rA. Portanto
(alpha+r)A = alpha A + rA
.

Resposta

(alpha+r)A = alpha A + rA

Exercícios relacionados