Use o método de Gauss-Jordan para encontrar os valores de a e b tais que o sistema
\left\{\begin{array}{r} x+2 y-2 z+2 w=0 \\\\ 2 x+4 y+z-w=0 \\\\ 3 x+6 y+z-w=a \\\\ -2 z+2 w=b \end{array}\right.
possua pelo menos uma solução. Encontre então todas as soluções do sistema.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o método de Gauss–Jordan no sistema
\begin{cases} x+2y-2z+2w=0,\\\\ 2x+4y+z-w=0,\\\\ 3x+6y+z-w=a,\\\\ -2z+2w=b, \end{cases}
de modo a achar as condições sobre a e b para que exista solução e, em seguida, determinar todas as soluções quando essas condições forem satisfeitas. Vamos montar a matriz aumentada com colunas para x,y,z,w e o termo independente.

Passo 2

Escrevendo a matriz aumentada e eliminando abaixo de x nas linhas 2 e 3:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -2 & 2 & 0\\\\ 2 & 4 & 1 & -1& 0\\\\ 3 & 6 & 1 & -1& a\\\\ 0 & 0 & -2 & 2 & b \end{array}\right] \quad \begin{aligned} R_2 &\leftarrow R_2 - 2R_1,\\\ R_3 &\leftarrow R_3 - 3R_1 \end{aligned} \;\Longrightarrow\; \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -2 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 5 & -5& 0\\\\ 0 & 0 & 7 & -7& a\\\\ 0 & 0 & -2 & 2 & b \end{array}\right].

Passo 3

Agora usamos o pivô 5 em R_2 para zerar acima e abaixo na coluna de z:
\begin{aligned} R_2 &\leftarrow \tfrac{1}{5}R_2,\\\ R_3 &\leftarrow R_3 - 7R_2,\\\ R_4 &\leftarrow R_4 + 2R_2,\\\ R_1 &\leftarrow R_1 + 2R_2 \end{aligned} \;\Longrightarrow\; \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & -1& 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & a\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & b \end{array}\right].

Passo 4

As duas últimas linhas ficam \,0= a e \,0=b. Para existir solução é necessário e suficiente que
a=0 \quad\text{e}\quad b=0.

Passo 5

Com a=b=0\), o sistema reduzido é \[\begin{cases} x+2y=0,\\\ z - w=0, \end{cases}
e as variáveis y\] e \(w são livres. Logo
x=-2y,\quad z=w,\quad y,\,w\in\mathbb{R}.

Resposta

Os valores são
a=0,\quad b=0.
A solução geral, com parâmetros t,y\in\mathbb{R}, é
(x,y,z,w)=(-2t,\;t,\;s,\;s),
ou seja
\{(-2t,t,s,s)\mid t,s\in\mathbb{R}\}.

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