Exercício 3. Quais os senos, cossenos e tangentes dos ângulos agudos do triângulo de lados
e 10 cm ?
Passo 1
O enunciado dá um triângulo com lados
,
e
e pede: quais são os senos, cossenos e tangentes dos ângulos agudos desse triângulo. Informações relevantes fornecidas:
- Comprimentos dos três lados:
, e (em centímetros). - Pergunta explícita: obter
, e dos ângulos agudos do triângulo.
Passo 2
Verificar se o triângulo é retângulo (isso determina como definimos seno, cosseno e tangente de forma simples). Usa-se o Teorema de Pitágoras: em um triângulo retângulo o quadrado do maior lado (hipotenusa) é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados. Calcular:
Como
, o triângulo é retângulo e o maior lado
é a hipotenusa. Portanto os ângulos agudos são os ângulos opostos aos lados
e
.
Passo 3
Definição (a fórmula que vamos usar): em um triângulo retângulo, para um ângulo agudo qualquer
,
Explicando palavras simples:
- “Cateto oposto” é o lado que fica em frente ao ângulo que estamos considerando.
- “Cateto adjacente” é o outro cateto (não a hipotenusa) que forma o ângulo com o primeiro.
- Hipotenusa é o maior lado, aqui
.
Vamos marcar os ângulos agudos: seja
o ângulo oposto ao lado
e
o ângulo oposto ao lado
. Assim, para
o cateto oposto é
e o adjacente é
. Para
o oposto é
e o adjacente é
.
Passo 4
Calcular
,
e
(ângulo oposto a
):
Reduzi a fração dividindo numerador e denominador por
. Se quiser em decimal:
Agora o cosseno:
E a tangente (razão dos catetos):
Observação prática: em triângulos retângulos as razões trigonométricas saem direto de relações entre os comprimentos dos lados.
Passo 5
Calcular
,
e
(ângulo oposto a
):
Repare que
e
, como sempre ocorre entre os ângulos complementares de um triângulo retângulo (
).
Passo 6
Contexto extra (útil para prova): esses números vêm do triângulo
escalado por
(porque
,
,
). Os senos/cossenos/tangentes do triângulo
são exatamente os mesmos (frações acima), portanto é uma boa receita mental lembrar as razões
,
e
para esse tipo de triângulo. Se quiser os ângulos em graus, usa-se função arco (precisa de calculadora):
Resposta
Para o ângulo
oposto ao lado
:
,
,
.
Para o ângulo
oposto ao lado
:
,
,
.