Exercício 3. Quais os senos, cossenos e tangentes dos ângulos agudos do triângulo de lados 6 \mathrm{~cm}, 8 \mathrm{~cm} e 10 cm ?

Passo 1

O enunciado dá um triângulo com lados 6\\ \text{cm}, 8\\ \text{cm} e 10\\ \text{cm} e pede: quais são os senos, cossenos e tangentes dos ângulos agudos desse triângulo. Informações relevantes fornecidas:
  • Comprimentos dos três lados: 6, 8 e 10 (em centímetros).
  • Pergunta explícita: obter \sin, \cos e \tan dos ângulos agudos do triângulo.

Passo 2

Verificar se o triângulo é retângulo (isso determina como definimos seno, cosseno e tangente de forma simples). Usa-se o Teorema de Pitágoras: em um triângulo retângulo o quadrado do maior lado (hipotenusa) é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados. Calcular:
6^{2}+8^{2}=36+64=100
10^{2}=100
Como 6^{2}+8^{2}=10^{2}, o triângulo é retângulo e o maior lado 10 é a hipotenusa. Portanto os ângulos agudos são os ângulos opostos aos lados 6 e 8.

Passo 3

Definição (a fórmula que vamos usar): em um triângulo retângulo, para um ângulo agudo qualquer \theta,
\sin\theta=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}, \qquad \cos\theta=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}, \qquad \tan\theta=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}.
Explicando palavras simples:
  • “Cateto oposto” é o lado que fica em frente ao ângulo que estamos considerando.
  • “Cateto adjacente” é o outro cateto (não a hipotenusa) que forma o ângulo com o primeiro.
  • Hipotenusa é o maior lado, aqui 10.
Vamos marcar os ângulos agudos: seja \alpha o ângulo oposto ao lado 6 e \beta o ângulo oposto ao lado 8. Assim, para \alpha o cateto oposto é 6 e o adjacente é 8. Para \beta o oposto é 8 e o adjacente é 6.

Passo 4

Calcular \sin\alpha, \cos\alpha e \tan\alpha (ângulo oposto a 6):
\sin\alpha=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.
Reduzi a fração dividindo numerador e denominador por 2. Se quiser em decimal:
\frac{3}{5}=0,6.
Agora o cosseno:
\cos\alpha=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}=0,8.
E a tangente (razão dos catetos):
\tan\alpha=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}=0,75.
Observação prática: em triângulos retângulos as razões trigonométricas saem direto de relações entre os comprimentos dos lados.

Passo 5

Calcular \sin\beta, \cos\beta e \tan\beta (ângulo oposto a 8):
\sin\beta=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}=0,8.
\cos\beta=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}=0,6.
\tan\beta=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\approx1,333\ldots
Repare que \sin\beta=\cos\alpha e \cos\beta=\sin\alpha, como sempre ocorre entre os ângulos complementares de um triângulo retângulo ( \alpha+\beta=90^\circ).

Passo 6

Contexto extra (útil para prova): esses números vêm do triângulo 3\!-\!4\!-\!5 escalado por 2 (porque 6=2\cdot3, 8=2\cdot4, 10=2\cdot5). Os senos/cossenos/tangentes do triângulo 3\!-\!4\!-\!5 são exatamente os mesmos (frações acima), portanto é uma boa receita mental lembrar as razões 3/5, 4/5 e 3/4 para esse tipo de triângulo. Se quiser os ângulos em graus, usa-se função arco (precisa de calculadora):
\alpha=\arcsin\!\left(\tfrac{3}{5}\right)\approx36{,}87^\circ,\qquad \beta\approx53{,}13^\circ.

Resposta

Para o ângulo \alpha oposto ao lado 6: \sin\alpha=\dfrac{3}{5}, \cos\alpha=\dfrac{4}{5}, \tan\alpha=\dfrac{3}{4}.
Para o ângulo \beta oposto ao lado 8: \sin\beta=\dfrac{4}{5}, \cos\beta=\dfrac{3}{5}, \tan\beta=\dfrac{4}{3}.

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