Exercício 4.1 Demonstrar que o ponto (0,0) é
  1. Um ponto de mínimo da função z=f(x, y)=e^{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado dá a função z=f(x,y)=e^{x^{2}+y^{2}} e pede para demonstrar que o ponto (0,0) é um ponto de mínimo.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função é f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} definida por f(x,y)=e^{x^{2}+y^{2}}.
  • O ponto em estudo é (0,0).
  • A tarefa é provar que (0,0) é um ponto de mínimo (ou seja: mostrar que f(0,0) é menor ou igual aos valores próximos ou a todos os valores de f, conforme a demonstração).

Passo 2

Ideia simples e direta (argumento por desigualdade): observar que a exponencial é sempre positiva e que x^{2}+y^{2} é sempre não-negativo. Explico devagar:
  • Para qualquer x e qualquer y vale x^{2}\ge 0 e y^{2}\ge 0. Portanto
x^{2}+y^{2}\ge 0.
  • Aplicando a função exponencial (que é crescente), obtemos
e^{x^{2}+y^{2}}\ge e^{0}=1.
  • Como f(x,y)=e^{x^{2}+y^{2}}, isso mostra que para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}
f(x,y)\ge 1.

Passo 3

Avaliar a função no ponto (0,0):
f(0,0)=e^{0^{2}+0^{2}}=e^{0}=1.
Comparando com o que provamos no Passo 2, para todo (x,y) temos f(x,y)\ge 1=f(0,0). Isso demonstra que (0,0) é um ponto de mínimo global de f (valor mínimo global igual a 1).

Passo 4

Complemento: mostrar que (0,0) é também um ponto crítico e que o mínimo é estrito localmente, usando derivadas parciais e a matriz Hessiana — isto é útil para saber que o mínimo não é “plano” mas sim estrito. Primeiro calculemos as derivadas parciais de primeira ordem:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}e^{x^{2}+y^{2}}=2x\,e^{x^{2}+y^{2}}, \qquad f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}e^{x^{2}+y^{2}}=2y\,e^{x^{2}+y^{2}}.
No ponto (0,0) obtemos
f_x(0,0)=0,\qquad f_y(0,0)=0,
ou seja, (0,0) é um ponto crítico (gradiente nulo).

Passo 5

Agora calculemos as segundas derivadas (elementos da Hessiana). Chamando r^{2}=x^{2}+y^{2} para clareza, mas escrevendo tudo explicitamente:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(2x e^{x^{2}+y^{2}}\big)=2e^{x^{2}+y^{2}}+4x^{2}e^{x^{2}+y^{2}}= \big(2+4x^{2}\big)e^{x^{2}+y^{2}},
f_{yy}(x,y)=\big(2+4y^{2}\big)e^{x^{2}+y^{2}},
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(2x e^{x^{2}+y^{2}}\big)=4xy\,e^{x^{2}+y^{2}}.
A matriz Hessiana é
H_f(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y)\\[4pt] f_{xy}(x,y) & f_{yy}(x,y) \end{pmatrix}.]

Passo 6

Avaliar a Hessiana em (0,0):
f_{xx}(0,0)=\big(2+4\cdot 0^{2}\big)e^{0}=2, \qquad f_{yy}(0,0)=2, \qquad f_{xy}(0,0)=0.
Logo
H_f(0,0)=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.
Para decidir o tipo do ponto crítico, verificamos se a Hessiana é definida positiva. Aqui os menores principais são:
  • D_1=f_{xx}(0,0)=2>0,
  • D_2=\det H_f(0,0)=2\cdot 2-0^{2}=4>0.
    Como todos os menores principais são positivos, a matriz é definida positiva. Portanto (0,0) é um ponto de mínimo estrito (local).]

Passo 7

Conclusão combinada e observação final:
  • Pelo argumento do Passo 2–3 temos que f(x,y)\ge 1=f(0,0) para todo (x,y), então (0,0) é mínimo global.
  • Pelo argumento das derivadas (Passos 4–6) (0,0) é um ponto crítico com Hessiana definida positiva, logo é também mínimo local estrito.
    Ambos os pontos reforçam que (0,0) é realmente um ponto de mínimo da função f.

Resposta

(0,0) é ponto de mínimo global de f; o valor mínimo é f(0,0)=1.

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