Exercício 4.1 Demonstrar que o ponto (0,0) é
- Um ponto de mínimo da função
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para demonstrar que o ponto
é um ponto de mínimo.
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
- A função é
definida por . - O ponto em estudo é
. - A tarefa é provar que
é um ponto de mínimo (ou seja: mostrar que é menor ou igual aos valores próximos ou a todos os valores de , conforme a demonstração).
Passo 2
Ideia simples e direta (argumento por desigualdade): observar que a exponencial é sempre positiva e que
é sempre não-negativo. Explico devagar:
- Para qualquer
e qualquer vale e . Portanto
- Aplicando a função exponencial (que é crescente), obtemos
- Como
, isso mostra que para todo
Passo 3
Avaliar a função no ponto
:
Comparando com o que provamos no Passo 2, para todo
temos
. Isso demonstra que
é um ponto de mínimo global de
(valor mínimo global igual a
).
Passo 4
Complemento: mostrar que
é também um ponto crítico e que o mínimo é estrito localmente, usando derivadas parciais e a matriz Hessiana — isto é útil para saber que o mínimo não é “plano” mas sim estrito. Primeiro calculemos as derivadas parciais de primeira ordem:
No ponto
obtemos
ou seja,
é um ponto crítico (gradiente nulo).
Passo 5
Agora calculemos as segundas derivadas (elementos da Hessiana). Chamando
para clareza, mas escrevendo tudo explicitamente:
A matriz Hessiana é
Passo 6
Avaliar a Hessiana em
:
Logo
Para decidir o tipo do ponto crítico, verificamos se a Hessiana é definida positiva. Aqui os menores principais são:
-
, -
.
Como todos os menores principais são positivos, a matriz é definida positiva. Portantoé um ponto de mínimo estrito (local).]
Passo 7
Conclusão combinada e observação final:
- Pelo argumento do Passo 2–3 temos que
para todo , então é mínimo global. - Pelo argumento das derivadas (Passos 4–6)
é um ponto crítico com Hessiana definida positiva, logo é também mínimo local estrito.
Ambos os pontos reforçam queé realmente um ponto de mínimo da função .