Exercício 4.3 Determine os pontos críticos da função
2. f(x, y)=4 x^{2}-4(y-1)^{2}.

Passo 1

O enunciado fornece a função f de duas variáveis
f(x,y)=4x^{2}-4(y-1)^{2}.
O que pede: determinar os pontos críticos dessa função (ou seja, os pontos (x,y) onde a função tem derivadas parciais nulas ou onde alguma derivada parcial não existe). Informação adicional útil: a função é polinomial em x e y, então está definida e tem derivadas parciais em todo \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Conceito e cálculo das derivadas parciais (passo-a-passo didático).
  • Um ponto crítico ocorre quando as derivadas parciais de f com respeito a x e a y são simultaneamente zero (ou alguma não existe). Aqui as derivadas existem em todo lugar, então basta igualar as derivadas parciais a zero.
  • Derivada parcial em relação a x: tratar y como constante e derivar em relação a x. \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(4x^{2}-4(y-1)^{2}\big).A parte -4(y-1)^{2} é constante quando derivamos em x, então sua derivada é 0. A derivada de 4x^{2} em relação a x é 4\cdot 2x=8x. Portanto \frac{\partial f}{\partial x}=8x.(Explicando a regra: \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x, multiplicando pelo coeficiente 4 8x.)
  • Derivada parcial em relação a y: tratar x como constante e derivar em y. \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(4x^{2}-4(y-1)^{2}\big).Agora 4x^{2} é constante (derivada 0), e a derivada de -4(y-1)^{2} em y é -4\cdot 2(y-1)\cdot 1=-8(y-1). Assim \frac{\partial f}{\partial y}=-8(y-1).(Explicando: \dfrac{d}{dy}(y-1)^{2}=2(y-1); multiplicando por -4 resulta em -8(y-1).)

Passo 3

Resolver o sistema \dfrac{\partial f}{\partial x}=0 e \dfrac{\partial f}{\partial y}=0.
  • Da primeira equação: 8x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
  • Da segunda equação: -8(y-1)=0 \quad\Rightarrow\quad y-1=0 \quad\Rightarrow\quad y=1.
Portanto existe exatamente um ponto crítico, dado por (x,y)=(0,1).

Passo 4

Classificação (opcional, para entender melhor o tipo de ponto crítico).
  • Calcule as segundas derivadas parciais: \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=f_{xx}=8,\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=f_{yy}=-8,\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=f_{xy}=0.
  • Determinante da matriz Hessiana (no ponto crítico, mas aqui as segundas derivadas são constantes): D = f_{xx}f_{yy}-\big(f_{xy}\big)^{2}=8\cdot(-8)-0=-64.
  • Regra de classificação (resumo rápido): se D>0 e f_{xx}>0 tem mínimo local; se D>0 e f_{xx}<0 tem máximo local; se D<0 tem ponto de sela; se D=0 é inconclusivo. Aqui D=-64<0, logo o ponto crítico (0,1) é um ponto de sela (saddle point).
  • Intuição: a função tem sinal positivo na direção x (porque 4x^{2} cresce com |x|) e sinal negativo na direção y em torno de y=1 (porque -4(y-1)^{2} é negativo para y\neq1), por isso o ponto é de sela.

Resposta

(0,1)

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