Exercício 4.3 Determine os pontos críticos da função
2.
.
2.
Passo 1
O enunciado fornece a função
de duas variáveis
O que pede: determinar os pontos críticos dessa função (ou seja, os pontos
onde a função tem derivadas parciais nulas ou onde alguma derivada parcial não existe). Informação adicional útil: a função é polinomial em
e
, então está definida e tem derivadas parciais em todo
.
Passo 2
Conceito e cálculo das derivadas parciais (passo-a-passo didático).
- Um ponto crítico ocorre quando as derivadas parciais de
com respeito a e a são simultaneamente zero (ou alguma não existe). Aqui as derivadas existem em todo lugar, então basta igualar as derivadas parciais a zero. - Derivada parcial em relação a
: tratar como constante e derivar em relação a . A parte é constante quando derivamos em , então sua derivada é . A derivada de em relação a é . Portanto (Explicando a regra: , multiplicando pelo coeficiente dá .) - Derivada parcial em relação a
: tratar como constante e derivar em . Agora é constante (derivada ), e a derivada de em é . Assim (Explicando: ; multiplicando por resulta em .)
Passo 3
Resolver o sistema
e
.
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
Portanto existe exatamente um ponto crítico, dado por
.
Passo 4
Classificação (opcional, para entender melhor o tipo de ponto crítico).
- Calcule as segundas derivadas parciais:
- Determinante da matriz Hessiana (no ponto crítico, mas aqui as segundas derivadas são constantes):
- Regra de classificação (resumo rápido): se
e tem mínimo local; se e tem máximo local; se tem ponto de sela; se é inconclusivo. Aqui , logo o ponto crítico é um ponto de sela (saddle point). - Intuição: a função tem sinal positivo na direção
(porque cresce com ) e sinal negativo na direção em torno de (porque é negativo para ), por isso o ponto é de sela.