Exercício 4.3 Determine os pontos críticos da função
  1. f(x, y)=x^{2}+4(y-2)^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a função e pede que encontremos os pontos críticos:
  • Função dada: f(x,y)=x^{2}+4(y-2)^{2}.
  • Pergunta: determinar os pontos críticos de f.

Passo 2

O que é um ponto crítico (explicação didática)?
  • Para uma função de duas variáveis f(x,y), um ponto (x_0,y_0) é chamado de ponto crítico se a derivada parcial de f em relação a x e a derivada parcial em relação a y existirem e simultaneamente forem zero no ponto, ou se alguma dessas derivadas não existir.
  • Em linguagem prática: calculamos o gradiente \nabla f=(f_x,f_y) (vetor das derivadas parciais) e procuramos onde \nabla f=\mathbf{0}.
  • Por que isso faz sentido? Porque as derivadas parciais medem a inclinação de f na direção dos eixos; se ambas são zero, não há inclinação nas direções x e y — candidato a máximo, mínimo ou ponto de sela.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais (explicando cada passo).
  • Derivada parcial em relação a x: tratar y como constante e derivar x^{2}. A derivada de x^{2} é 2x. O termo 4(y-2)^{2} não depende de x, então sua derivada parcial em x é 0. Logo,
f_x(x,y)=2x.
  • Derivada parcial em relação a y: tratar x como constante e derivar 4(y-2)^{2}. Aqui usamos a regra da cadeia: se g(y)=(y-2)^{2}, então g'(y)=2(y-2). Multiplicando pelo coeficiente 4 obtemos 4\cdot 2(y-2)=8(y-2). O termo x^{2} não depende de y, então sua derivada parcial em y é 0. Assim,
f_y(x,y)=8(y-2).

Passo 4

Resolver o sistema \nabla f=\mathbf{0}.
  • Igualando as derivadas a zero:
2x=0, \qquad 8(y-2)=0.
  • Da primeira equação obtemos x=0.
  • Da segunda obtemos y-2=0, ou seja y=2.
  • Logo há um único ponto que anula ambas as derivadas: (x,y)=(0,2).
Também verificar se existem pontos onde as derivadas não existem: as funções 2x e 8(y-2) existem para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}, então não há outros pontos críticos por falta de derivada.

Passo 5

Classificação rápida do ponto (aula extra, para saber o que é esse ponto).
  • Calcula-se as segundas derivadas:
f_{xx}(x,y)=2,\qquad f_{yy}(x,y)=8,\qquad f_{xy}(x,y)=0.
  • Determinante do Hessiano no ponto (chamado D):
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^{2} = 2\cdot 8 - 0^{2} = 16.
  • Regras (resumo): se D>0 e f_{xx}>0 então ponto crítico é mínimo local; se D>0 e f_{xx}<0 máximo local; se D<0 ponto de sela. Aqui D=16>0 e f_{xx}=2>0, logo (0,2) é um mínimo local.
  • Intuição geométrica: a função é soma de quadrados (cada termo não-negativo) deslocado em y, portanto descreve um “paraboloide” com único mínimo no ponto onde os quadrados são zero.

Resposta

(0,2)

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