Exercício 4.3 Determine os pontos críticos da função
-
.
Passo 1
O enunciado dá a função e pede que encontremos os pontos críticos:
- Função dada:
. - Pergunta: determinar os pontos críticos de
.
Passo 2
O que é um ponto crítico (explicação didática)?
- Para uma função de duas variáveis
, um ponto é chamado de ponto crítico se a derivada parcial de em relação a e a derivada parcial em relação a existirem e simultaneamente forem zero no ponto, ou se alguma dessas derivadas não existir. - Em linguagem prática: calculamos o gradiente
(vetor das derivadas parciais) e procuramos onde . - Por que isso faz sentido? Porque as derivadas parciais medem a inclinação de
na direção dos eixos; se ambas são zero, não há inclinação nas direções e — candidato a máximo, mínimo ou ponto de sela.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais (explicando cada passo).
- Derivada parcial em relação a
: tratar como constante e derivar . A derivada de é . O termo não depende de , então sua derivada parcial em é . Logo,
- Derivada parcial em relação a
: tratar como constante e derivar . Aqui usamos a regra da cadeia: se , então . Multiplicando pelo coeficiente obtemos . O termo não depende de , então sua derivada parcial em é . Assim,
Passo 4
Resolver o sistema
.
- Igualando as derivadas a zero:
- Da primeira equação obtemos
. - Da segunda obtemos
, ou seja . - Logo há um único ponto que anula ambas as derivadas:
.
Também verificar se existem pontos onde as derivadas não existem: as funções
e
existem para todo
, então não há outros pontos críticos por falta de derivada.
Passo 5
Classificação rápida do ponto (aula extra, para saber o que é esse ponto).
- Calcula-se as segundas derivadas:
- Determinante do Hessiano no ponto (chamado
):
- Regras (resumo): se
e então ponto crítico é mínimo local; se e máximo local; se ponto de sela. Aqui e , logo é um mínimo local. - Intuição geométrica: a função é soma de quadrados (cada termo não-negativo) deslocado em
, portanto descreve um “paraboloide” com único mínimo no ponto onde os quadrados são zero.