Exercício 8. Demonstre, a partir da equação (6) do divisor de tensão, que a tensão sobre dois resistores em série, Ra e Rb, conectadoş a uma fonte E, satisfaz
. Comente o significado físico desse resultado. 4
Passo 1
O enunciado pede que se demonstre, a partir da equação (6) do divisor de tensão, que
Informações dadas (o que temos):
- Dois resistores
e estão em série. - Eles estão ligados a uma fonte de tensão
. - A equação (6) do divisor de tensão (prescrita pelo enunciado) fornece a tensão em cada resistor em função de
e das resistências.
O objetivo é usar essa equação (6) para obter algebraicamente a relação pedida e comentar o significado físico do resultado.
Passo 2
Primeiro vamos escrever explicitamente a equação (6) do divisor de tensão que o enunciado menciona. Essa equação, para dois resistores em série, dá a tensão sobre cada resistor como a fração da fonte proporcional à sua resistência. Ou seja:
Aqui:
é a tensão da fonte (diferença de potencial total aplicada ao par em série),
é a queda de tensão sobre
e
é a queda de tensão sobre
.
Passo 3
Explicando cada símbolo (para não deixar dúvidas):
-
e são os valores dos resistores (em ohms). -
é a tensão (em volts) aplicada ao conjunto série. -
e são tensões (em volts) medidas entre os extremos de e , respectivamente.
A razão de ser da fórmula do divisor: em série a mesma correntepercorre ambos os resistores, e a queda de tensão em cada um é ; ao somar as quedas obtém-se e daí isolam-se e .
Passo 4
Agora calculamos a razão
substituindo as expressões dadas pela equação (6). Escrevemos:
Passo 5
Simplificamos a expressão: note que o fator comum
aparece no numerador e no denominador, e também o denominador comum
cancela. Portanto:
Isso conclui a demonstração algébrica pedida.
Passo 6
Vou dar uma derivação alternativa curta e intuitiva (útil para lembrar na prova): em série a corrente é a mesma em ambos os resistores; chamando essa corrente de
, vale
Tomando a razão:
o que é o mesmo resultado. Essa via é muitas vezes mais rápida na prova porque usa apenas a lei de Ohm e a propriedade de circuitos em série.
Passo 7
Significado físico do resultado (explicação didática e intuitiva):
- A tensão total
“se reparte” entre os resistores em série de forma proporcional às suas resistências. Ou seja, quanto maior a resistência, maior a queda de tensão sobre ela. - Física por trás: a corrente que atravessa a série é única; cada carga que atravessa o circuito perde energia num resistor na proporção do seu
. A queda de potencial é a energia perdida por unidade de carga, e essa energia é maior no resistor com maior resistência. - Consequências práticas rápidas: se
então (metade da fonte cada). Se então fica quase igual a e fica muito pequena.
Passo 8
Exemplo numérico curto (para fixar): seja
,
e
. Pela fórmula do divisor:
A razão é
, confirmando o resultado.
Passo 9
Observações finais para a prova (dicas):
- Na hora da prova, se pedirem a razão
, a forma mais direta é lembrar que as frações e compartilham fatores que cancelam, resultando na razão das resistências. - Se preferir derivar rapidamente, use que a corrente em série é a mesma e aplique
diretamente. - Lembre-se de que esse resultado só vale para resistores em série (não vale para resistores em paralelo).
Resposta
A interpretação física: a tensão total se divide entre os resistores em série na mesma razão das suas resistências — o resistor maior sofre maior queda de tensão porque dissipa mais energia por carga que passa.