Exercício 8. Demonstre, a partir da equação (6) do divisor de tensão, que a tensão sobre dois resistores em série, Ra e Rb, conectadoş a uma fonte E, satisfaz \mathrm{Va} / \mathrm{Vb}=\mathrm{Ra} / \mathrm{Rb}. Comente o significado físico desse resultado. 4

Passo 1

O enunciado pede que se demonstre, a partir da equação (6) do divisor de tensão, que
\frac{V_a}{V_b}=\frac{R_a}{R_b}.
Informações dadas (o que temos):
  • Dois resistores R_a e R_b estão em série.
  • Eles estão ligados a uma fonte de tensão E.
  • A equação (6) do divisor de tensão (prescrita pelo enunciado) fornece a tensão em cada resistor em função de E e das resistências.
    O objetivo é usar essa equação (6) para obter algebraicamente a relação pedida e comentar o significado físico do resultado.

Passo 2

Primeiro vamos escrever explicitamente a equação (6) do divisor de tensão que o enunciado menciona. Essa equação, para dois resistores em série, dá a tensão sobre cada resistor como a fração da fonte proporcional à sua resistência. Ou seja:
V_a = E\frac{R_a}{R_a+R_b}
V_b = E\frac{R_b}{R_a+R_b}
Aqui: E é a tensão da fonte (diferença de potencial total aplicada ao par em série), V_a é a queda de tensão sobre R_a e V_b é a queda de tensão sobre R_b.

Passo 3

Explicando cada símbolo (para não deixar dúvidas):
  • R_a e R_b são os valores dos resistores (em ohms).
  • E é a tensão (em volts) aplicada ao conjunto série.
  • V_a e V_b são tensões (em volts) medidas entre os extremos de R_a e R_b, respectivamente.
    A razão de ser da fórmula do divisor: em série a mesma corrente I percorre ambos os resistores, e a queda de tensão em cada um é V=IR; ao somar as quedas obtém-se E=I(R_a+R_b) e daí isolam-se V_a e V_b.

Passo 4

Agora calculamos a razão \dfrac{V_a}{V_b} substituindo as expressões dadas pela equação (6). Escrevemos:
\frac{V_a}{V_b}=\frac{E\displaystyle\frac{R_a}{R_a+R_b}}{E\displaystyle\frac{R_b}{R_a+R_b}}.

Passo 5

Simplificamos a expressão: note que o fator comum E aparece no numerador e no denominador, e também o denominador comum (R_a+R_b) cancela. Portanto:
\frac{V_a}{V_b}=\frac{E\,\dfrac{R_a}{R_a+R_b}}{E\,\dfrac{R_b}{R_a+R_b}} =\frac{R_a}{R_b}.
Isso conclui a demonstração algébrica pedida.

Passo 6

Vou dar uma derivação alternativa curta e intuitiva (útil para lembrar na prova): em série a corrente é a mesma em ambos os resistores; chamando essa corrente de I, vale
V_a = I\,R_a,\qquad V_b = I\,R_b.
Tomando a razão:
\frac{V_a}{V_b}=\frac{I\,R_a}{I\,R_b}=\frac{R_a}{R_b},
o que é o mesmo resultado. Essa via é muitas vezes mais rápida na prova porque usa apenas a lei de Ohm e a propriedade de circuitos em série.

Passo 7

Significado físico do resultado (explicação didática e intuitiva):
  • A tensão total E “se reparte” entre os resistores em série de forma proporcional às suas resistências. Ou seja, quanto maior a resistência, maior a queda de tensão sobre ela.
  • Física por trás: a corrente que atravessa a série é única; cada carga que atravessa o circuito perde energia num resistor na proporção do seu R. A queda de potencial é a energia perdida por unidade de carga, e essa energia é maior no resistor com maior resistência.
  • Consequências práticas rápidas: se R_a=R_b então V_a=V_b (metade da fonte cada). Se R_a\gg R_b então V_a fica quase igual a E e V_b fica muito pequena.

Passo 8

Exemplo numérico curto (para fixar): seja R_a=2\\ \text{k}\Omega, R_b=3\\ \text{k}\Omega e E=10\\ \text{V}. Pela fórmula do divisor:
V_a=10\cdot\frac{2}{2+3}=10\cdot\frac{2}{5}=4\\ \text{V},
V_b=10\cdot\frac{3}{5}=6\\ \text{V}.
A razão é \dfrac{V_a}{V_b}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{R_a}{R_b}, confirmando o resultado.

Passo 9

Observações finais para a prova (dicas):
  • Na hora da prova, se pedirem a razão V_a/V_b, a forma mais direta é lembrar que as frações E(R_a/(R_a+R_b)) e E(R_b/(R_a+R_b)) compartilham fatores que cancelam, resultando na razão das resistências.
  • Se preferir derivar rapidamente, use que a corrente em série é a mesma e aplique V=IR diretamente.
  • Lembre-se de que esse resultado só vale para resistores em série (não vale para resistores em paralelo).

Resposta

\dfrac{V_a}{V_b}=\dfrac{R_a}{R_b}
A interpretação física: a tensão total se divide entre os resistores em série na mesma razão das suas resistências — o resistor maior sofre maior queda de tensão porque dissipa mais energia por carga que passa.

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