Exercício 1. Demonstre as relações de ortogonalidade entre as funções que compõem a série de Fourier, ou seja, que:
  • \int_{-L}^{L} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{m \pi x}{L}\right) d x= \begin{cases}0 & \text { se } n \neq m \\\ L & \text { se } n=m\end{cases}
  • \int_{-L}^{L} \cos \left(\frac{n \pi x}{L}\right) \cos \left(\frac{m \pi x}{L}\right) d x= \begin{cases}0 & \text { se } n \neq m \\\ L & \text { se } n=m\end{cases}
  • \int_{-L}^{L} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \cos \left(\frac{m \pi x}{L}\right) d x=0
  • \int_{-L}^{L} \cos \left(\frac{m \pi x}{L}\right) d x=0
  • \int_{-L}^{L} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) d x=0

Passo 1

O enunciado quer que a gente mostre que, em [-L,L], as funções
\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr) e \cos\bigl(\tfrac{m\pi x}{L}\bigr)
são ortogonais. Para isso, vamos usar as identidades de produto-para-soma e depois avaliar integrais do tipo
\displaystyle\int_{-L}^{L}\cos\bigl(k\pi x/L\bigr)dx
e
\displaystyle\int_{-L}^{L}\sin\bigl(k\pi x/L\bigr)dx.

Passo 2

Para
\displaystyle\int_{-L}^{L}\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\sin\bigl(\tfrac{m\pi x}{L}\bigr)dx
usamos
\sin\alpha\,\sin\beta =\frac{1}{2}\bigl[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\bigr]
com \alpha=\tfrac{n\pi x}{L} e \beta=\tfrac{m\pi x}{L}. Então
\int_{-L}^{L}\sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\Bigr)\sin\!\Bigl(\tfrac{m\pi x}{L}\Bigr)dx =\frac12\int_{-L}^{L}\Bigl[\cos\!\bigl(\tfrac{(n-m)\pi x}{L}\bigr) -\cos\!\bigl(\tfrac{(n+m)\pi x}{L}\bigr)\Bigr]dx.
Como, para k\neq0,
\int_{-L}^{L}\cos\!\bigl(\tfrac{k\pi x}{L}\bigr)dx =\left.\frac{L}{k\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{k\pi x}{L}\bigr)\right|_{-L}^{L} =0,
e para k=0 temos \int_{-L}^{L}1\,dx=2L, concluímos
  • Se n\neq m, nem (n-m) nem (n+m) são zero, logo a integral é zero.
  • Se n=m, o termo \cos(0) \tfrac12\bigl(2L-0\bigr)=L.

Passo 3

Para
\displaystyle\int_{-L}^{L}\cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\cos\bigl(\tfrac{m\pi x}{L}\bigr)dx
usamos
\cos\alpha\,\cos\beta =\frac{1}{2}\bigl[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\bigr].
O raciocínio é análogo ao do Passo 2, só que com soma de cossenos. Novamente os termos com \cos\bigl(\frac{k\pi x}{L}\bigr) para k\neq0 dão zero, e se n=m aparece \cos(0) que gera L.

Passo 4

Para a mistura seno–cosseno
\displaystyle\int_{-L}^{L}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{m\pi x}{L}\bigr)dx
usamos
\sin\alpha\,\cos\beta =\frac{1}{2}\bigl[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\bigr].
Como
\displaystyle\int_{-L}^{L}\sin\!\bigl(\tfrac{k\pi x}{L}\bigr)dx=0
(pois \sin é ímpar no intervalo simétrico), essa integral vale zero para todos n,m.

Passo 5

Finalmente, as integrais isoladas
\int_{-L}^{L}\cos\!\bigl(\tfrac{m\pi x}{L}\bigr)dx =\left.\frac{L}{m\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{m\pi x}{L}\bigr)\right|_{-L}^{L} =0,
\int_{-L}^{L}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)dx =-\left.\frac{L}{n\pi}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\right|_{-L}^{L} =0.

Resposta

\displaystyle\int_{-L}^{L}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\sin\!\bigl(\tfrac{m\pi x}{L}\bigr)dx =\begin{cases}0,&n\neq m,\L,&n=m,\end{cases}
\displaystyle\int_{-L}^{L}\cos\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{m\pi x}{L}\bigr)dx =\begin{cases}0,&n\neq m,\L,&n=m,\end{cases}
\displaystyle\int_{-L}^{L}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{m\pi x}{L}\bigr)dx=0
\displaystyle\int_{-L}^{L}\cos\!\bigl(\tfrac{m\pi x}{L}\bigr)dx=0
\displaystyle\int_{-L}^{L}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)dx=0

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