Exercício 1. Demonstre as relações de ortogonalidade entre as funções que compõem a série de Fourier, ou seja, que:
\int_{-L}^{L} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{m \pi x}{L}\right) d x= \begin{cases}0 & \text { se } n \neq m \\\ L & \text { se } n=m\end{cases}
\int_{-L}^{L} \cos \left(\frac{n \pi x}{L}\right) \cos \left(\frac{m \pi x}{L}\right) d x= \begin{cases}0 & \text { se } n \neq m \\\ L & \text { se } n=m\end{cases}
\int_{-L}^{L} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \cos \left(\frac{m \pi x}{L}\right) d x=0
\int_{-L}^{L} \cos \left(\frac{m \pi x}{L}\right) d x=0
\int_{-L}^{L} \operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) d x=0
Passo 1
O enunciado quer que a gente mostre que, em [-L,L], as funções \sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr) e \cos\bigl(\tfrac{m\pi x}{L}\bigr)
são ortogonais. Para isso, vamos usar as identidades de produto-para-soma e depois avaliar integrais do tipo \displaystyle\int_{-L}^{L}\cos\bigl(k\pi x/L\bigr)dx
e \displaystyle\int_{-L}^{L}\sin\bigl(k\pi x/L\bigr)dx.
Passo 2
Para \displaystyle\int_{-L}^{L}\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\sin\bigl(\tfrac{m\pi x}{L}\bigr)dx
usamos
O raciocínio é análogo ao do Passo 2, só que com soma de cossenos. Novamente os termos com \cos\bigl(\frac{k\pi x}{L}\bigr) para k\neq0 dão zero, e se n=m aparece \cos(0) que gera L.
Passo 4
Para a mistura seno–cosseno \displaystyle\int_{-L}^{L}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{m\pi x}{L}\bigr)dx
usamos
Como \displaystyle\int_{-L}^{L}\sin\!\bigl(\tfrac{k\pi x}{L}\bigr)dx=0
(pois \sin é ímpar no intervalo simétrico), essa integral vale zero para todos n,m.