Encontre o limite, quando possível, utilizando a regra de l’Hôspital. Se a regra de l’Hôspital não puder ser utilizada, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\right)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to1}\Bigl(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\Bigr),
usando a regra de L’Hôpital quando possível. O conteúdo é indeterminações do tipo \infty-\infty, e precisaremos reescrever como quociente para obter 0/0 ou \infty/\infty.

Passo 2

Ao aproximar x\to1, temos
\frac{x}{x-1}\to\pm\infty e \frac{1}{\ln x}\to\pm\infty,
logo forma indeterminada \infty-\infty. Para usar L’Hôpital, escrevemos num único quociente:
\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x} =\frac{x\ln x-(x-1)}{(x-1)\,\ln x}.

Passo 3

Verificamos que, ao x\to1, numerador e denominador tendem a 0, dando 0/0. Aplicamos L’Hôpital diferenciando numerador e denominador:
numerador N(x)=x\ln x-(x-1)
N'(x)=\ln x + 1 - 1 = \ln x.
denominador D(x)=(x-1)\ln x
D'(x)=1\cdot\ln x+(x-1)\cdot\frac1x =\ln x+\frac{x-1}{x}.
Logo a nova expressão é
\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{\ln x+\frac{x-1}{x}},
que ao x=1 ainda dá 0/0.

Passo 4

Como permanece a indeterminação 0/0, aplicamos L’Hôpital pela segunda vez:
numerador \ln x (\ln x)'=\frac1x,
denominador \ln x+\frac{x-1}{x}= \ln x+1-\frac1x
\bigl(\ln x+1-\tfrac1x\bigr)'=\frac1x+0+\frac1{x^2} =\frac1x+\frac1{x^2}.
O limite torna-se
\lim_{x\to1}\frac{\frac1x}{\frac1x+\frac1{x^2}} =\frac{1}{1+1} =\frac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

Exercícios relacionados