Exercício 2. Esboce o gráfico e encontre a série de Fourier das funções abaixo.
u(t)=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text { se }-\frac{\pi}{\omega}<t<0 \\\ E \operatorname{sen}(\omega t) & \text { se } 0<t<\frac{\pi}{\omega}\end{array} \quad u(t+2 \pi / \omega)=u(t)\right.

Passo 1

O enunciado define uma função periódica u(t)\) de período \[T=\frac{2\pi}{\omega}
que vale
u(t)= \begin{cases} 0,& -\tfrac{\pi}{\omega}<t<0,\\\ E\sin(\omega t),& 0<t<\tfrac{\pi}{\omega}, \end{cases}
e se estende com u(t+T)=u(t)\]. Queremos (i) esboçar qualitativamente o gráfico de um período e (ii) obter a série trigonométrica de Fourier real de \(u(t). Usaremos as fórmulas
a_0=\frac1T\int_0^T u(t)\,dt,\quad a_n=\frac{2}{T}\int_0^T u(t)\cos\bigl(n\omega_0 t\bigr)\,dt,\quad b_n=\frac{2}{T}\int_0^T u(t)\sin\bigl(n\omega_0 t\bigr)\,dt,
com \omega_0=\tfrac{2\pi}{T}=\omega.

Passo 2

O gráfico num período [-\pi/\omega,\pi/\omega] é “meio ciclo de seno” seguido de zero:
  • De -\pi/\omega até 0: u(t)=0.
  • De 0 até \pi/\omega: u(t)=E\sin(\omega t).
    Depois repete com período 2\pi/\omega.

Passo 3

Calculamos o termo médio a_0:
a_0=\frac1T\int_0^T u(t)\,dt =\frac{\omega}{2\pi}\;\int_{0}^{\pi/\omega}E\sin(\omega t)\,dt =\frac{\omega E}{2\pi}\,\Bigl[-\tfrac{\cos(\omega t)}{\omega}\Bigr]_{0}^{\pi/\omega} =\frac{E}{\pi}.

Passo 4

Agora a_n para n\ge1:
a_n=\frac{2}{T}\int_0^T u(t)\cos(n\omega t)\,dt =\frac{\omega E}{\pi}\int_{0}^{\pi/\omega}\sin(\omega t)\cos(n\omega t)\,dt.
Usando \sin A\cos B=\tfrac12[\sin(A+B)+\sin(A-B)] e integrando, chega-se a
a_n =\frac{E}{\pi}\,\frac{1+(-1)^n}{\,1-n^2\,}.
Em particular a_n=0 para n ímpar e, para n=2m,
a_{2m} =\frac{2E}{\pi\,[\,1-(2m)^2\,]} =-\frac{2E}{\pi(4m^2-1)}.

Passo 5

Os coeficientes b_n são
b_n=\frac{2}{T}\int_0^T u(t)\sin(n\omega t)\,dt =\frac{\omega E}{\pi}\int_{0}^{\pi/\omega}\sin(\omega t)\sin(n\omega t)\,dt,
mas essa integral anula-se para todo n. Logo b_n=0.

Passo 6

Reunindo, a série de Fourier de u(t) é
u(t) =\frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_n\cos(n\omega t)+b_n\sin(n\omega t)\bigr].
Como b_n=0 e a_n só difere de zero para n=2m, fica
u(t) =\frac{E}{2\pi} +\sum_{m=1}^{\infty}\biggl(-\frac{2E}{\pi(4m^2-1)}\biggr)\cos(2m\omega t).
Podemos escrever de modo mais limpo:
\boxed{ u(t) =\frac{E}{\pi} -\frac{2E}{\pi}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\cos(2m\omega t)}{4m^2-1} }.

Resposta

u(t) =\frac{E}{\pi} -\frac{2E}{\pi}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{\cos(2m\omega t)}{4m^2-1}.

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