Exercício 2. Esboce o gráfico e encontre a série de Fourier das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado define uma função periódica
que vale
e se estende com
. Usaremos as fórmulas
com
.
Passo 2
O gráfico num período
é “meio ciclo de seno” seguido de zero:
- De
até : . - De
até : .
Depois repete com período.
Passo 3
Calculamos o termo médio
:
Passo 4
Agora
para
:
Usando
e integrando, chega-se a
Em particular
para
ímpar e, para
,
Passo 5
Os coeficientes
são
mas essa integral anula-se para todo
. Logo
.
Passo 6
Reunindo, a série de Fourier de
é
Como
e
só difere de zero para
, fica
Podemos escrever de modo mais limpo: