Encontre o limite, quando possível, utilizando a regra de l’Hôspital. Se a regra de l’Hôspital não puder ser utilizada, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tgh} x}{\operatorname{tg} x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tgh}x}{\operatorname{tg}x}
usando a regra de l’H^opital. Isso envolve limites de fun\c{c}~oes trigonom’etricas (hiperb’olica e circular) e derivadas para aplicar l’H^opital.

Passo 2

Substituindo x=0 temos
\operatorname{tgh}0=0,\quad \operatorname{tg}0=0,
logo o quociente 'e da forma 0/0, indeterminado. Podemos, ent~ao, aplicar a regra de l’H^opital.

Passo 3

Pela regra de l’H^opital, derivamos numerador e denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{tgh}x\bigr)=\operatorname{sech}^2x, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{tg}x\bigr)=\operatorname{sec}^2x.
Assim o limite vira
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sech}^2x}{\operatorname{sec}^2x}.

Passo 4

Bast a avaliar em x=0:
\operatorname{sech}0=\frac{1}{\cosh0}=1, \qquad \sec0=\frac{1}{\cos0}=1,
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\frac{\operatorname{sech}^2 0}{\operatorname{sec}^2 0}=\frac{1^2}{1^2}=1.

Resposta

1

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