Exercício 3. Dentro de uma urna tem bolas de duas cores (azul e vermelho). Ao realizar vários sorteios, verificou-se que a probabilidade de sortear uma bola azul é igual à 0.3 , ou seja,
. Sabendo disto, realizou-se um sorteio e verificou que a bola sorteada é a azul. Retornou-se a bola sorteada (a azul) para dentro da urna e realizar novo sorteio, qual é a probabilidade de sortear uma bola vermelha, ou seja,
? (R: 0.7 )
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
- Foi observado que a probabilidade de sortear uma bola azul é
. - Realizou-se um sorteio, saiu uma bola azul; essa bola foi devolvida à urna (ou seja, houve reposição).
- Em seguida realizou-se um novo sorteio.
- Pergunta: qual é a probabilidade de, nesse novo sorteio, sair uma bola vermelha? Ou seja, calcular
.
Passo 2
Entendendo os eventos e o espaço amostral de forma bem simples:
- Há só duas cores possíveis: azul (evento
) e vermelho (evento ). Isso significa que os dois eventos são mutuamente exclusivos (não podem ocorrer juntos num mesmo sorteio) e, juntos, cobrem todas as possibilidades do experimento. - Quando dois eventos são mutuamente exclusivos e exaustivos, as suas probabilidades somam
. Em símbolos:
Aqui
é a probabilidade de azul e
é a probabilidade de vermelho.
Passo 3
Explicando por que a devolução da bola (a reposição) importa:
- Devolver a bola faz com que a composição da urna antes do segundo sorteio seja exatamente a mesma de antes do primeiro sorteio.
- Portanto, o segundo sorteio tem a mesma distribuição de probabilidades do primeiro; o resultado do primeiro sorteio não altera as probabilidades do segundo quando há reposição.
- Em linguagem de probabilidade condicional isso se escreve:
Ou seja, o conhecimento do primeiro sorteio não muda
porque a urna voltou ao estado original.
Passo 4
Usando a relação de complemento (a ideia chave):
- Como
e são as únicas possibilidades, é o complemento de . A regra do complemento diz que a probabilidade de um evento ser o complementar de outro é menos a probabilidade do evento original. - Em fórmula:
- Aqui
representa a certeza (probabilidade total do espaço amostral), é a probabilidade de azul e é a probabilidade de vermelho.
Passo 5
Aplicando a fórmula com o número dado:
- Temos
. Substituindo:
- Fazendo a subtração:
Passo 6
Interpretação final e um lembrete amigo:
- Então, mesmo tendo saído azul no primeiro sorteio, como a bola foi reposta, o segundo sorteio é independente e a probabilidade de vermelho continua sendo
. - Observação útil para a prova: se a bola NÃO tivesse sido reposta, a probabilidade do segundo sorteio mudaria e dependeria da quantidade de bolas de cada cor na urna — aí precisaríamos do número de bolas para calcular.