Exercício 1. Em uma urna tem uma bola preta, uma azul e uma branca. Considere: Evento P: bola preta, Evento A: bola azul e Evento B: bola branca. Realizou-se o sorteio de duas bolas (ou seja, uma depois a outra), escreva o espaço amostral: a) Com reposição; b) Sem reposição

Passo 1

O enunciado diz que na urna há três bolas: uma preta, uma azul e uma branca. Denota-se o evento “bola preta” por P, “bola azul” por A e “bola branca” por B. Foi realizado um sorteio de duas bolas, uma depois da outra (ou seja, há uma primeira retirada e uma segunda retirada). O que o exercício pede é: escrever o espaço amostral (ou seja, a lista de todos os resultados possíveis) nas duas situações abaixo:
a) com reposição (depois da primeira retirada, a bola volta para a urna);\nb) sem reposição (a bola retirada não volta para a urna).

Passo 2

O que é o espaço amostral aqui? O espaço amostral, que vou chamar de \Omega, é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento aleatório. Como as retiradas são sequenciais, cada resultado será representado por um par ordenado (x,y), onde x é a cor da primeira bola e y é a cor da segunda bola. Importante: como a ordem importa (primeira vs segunda), (P,A) é diferente de (A,P).

Passo 3

Vamos pensar no caso com reposição. “Com reposição” significa que, após a primeira retirada, a mesma bola é devolvida à urna antes da segunda retirada, portanto a segunda retirada tem exatamente as mesmas opções que a primeira.
Contagem de opções: na primeira retirada há 3 opções ( P,A,B) e na segunda também há 3 opções. Pelo princípio da contagem (regra do produto), o número total de pares ordenados é
3 \times 3 = 9.
Isso corresponde a listar todas as combinações possíveis de duas cores, permitindo repetição.

Passo 4

Agora listo explicitamente todas as 9 possibilidades no caso com reposição. O espaço amostral é
\Omega_{\text{com}}=\{(P,P),(P,A),(P,B),(A,P),(A,A),(A,B),(B,P),(B,A),(B,B)\}.
Cada par significa (cor da primeira retirada, cor da segunda retirada).

Passo 5

Agora o caso sem reposição. “Sem reposição” significa que, depois da primeira retirada, a bola não volta para a urna; portanto a segunda retirada tem uma opção a menos.
Contagem de opções: na primeira retirada há 3 opções e, após tirar uma bola, restam 2 opções para a segunda. Pela regra do produto, o número total de pares ordenados é
3 \times 2 = 6.
Outra forma de ver: é o número de permutações de 3 itens tomados 2 a 2, que é
P(3,2)=\frac{3!}{(3-2)!}=\frac{3!}{1!}=6.
(O símbolo n! significa fatorial: n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot 1.)

Passo 6

Agora listo explicitamente todas as 6 possibilidades no caso sem reposição. O espaço amostral é
\Omega_{\text{sem}}=\{(P,A),(P,B),(A,P),(A,B),(B,P),(B,A)\}.
Note que pares como (P,P), (A,A) e (B,B) não aparecem aqui porque não é possível repetir a mesma bola quando não há reposição.

Passo 7

Pequeno exemplo prático para fixar: se eu quiser a probabilidade (assumindo que todas as bolas são igualmente prováveis a cada retirada) de tirar primeiro P e depois A,
  • com reposição: P((P,A))=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{9} porque cada retirada tem probabilidade 1/3;\n
  • sem reposição: P((P,A))=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6} porque a primeira tem 1/3 e, dada a primeira, a segunda tem 1/2.

Passo 8

Regra geral (para você aplicar rápido na prova):
  • amostragem com reposição de k retiradas entre n itens \Rightarrow número de resultados n^k;\n
  • amostragem sem reposição de k retiradas entre n itens \Rightarrow número de resultados P(n,k)=\dfrac{n!}{(n-k)!}.
    Isso ajuda a contar sem precisar listar tudo quando n e k são maiores.

Resposta

a) \{(P,P),(P,A),(P,B),(A,P),(A,A),(A,B),(B,P),(B,A),(B,B)\}
b) \{(P,A),(P,B),(A,P),(A,B),(B,P),(B,A)\}

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