Exercício 1. Em uma urna tem uma bola preta, uma azul e uma branca. Considere: Evento P: bola preta, Evento A: bola azul e Evento B: bola branca. Realizou-se o sorteio de duas bolas (ou seja, uma depois a outra), escreva o espaço amostral: a) Com reposição; b) Sem reposição
Passo 1
O enunciado diz que na urna há três bolas: uma preta, uma azul e uma branca. Denota-se o evento “bola preta” por
, “bola azul” por
e “bola branca” por
. Foi realizado um sorteio de duas bolas, uma depois da outra (ou seja, há uma primeira retirada e uma segunda retirada). O que o exercício pede é: escrever o espaço amostral (ou seja, a lista de todos os resultados possíveis) nas duas situações abaixo:
a) com reposição (depois da primeira retirada, a bola volta para a urna);\nb) sem reposição (a bola retirada não volta para a urna).
a) com reposição (depois da primeira retirada, a bola volta para a urna);\nb) sem reposição (a bola retirada não volta para a urna).
Passo 2
O que é o espaço amostral aqui? O espaço amostral, que vou chamar de
, é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento aleatório. Como as retiradas são sequenciais, cada resultado será representado por um par ordenado
, onde
é a cor da primeira bola e
é a cor da segunda bola. Importante: como a ordem importa (primeira vs segunda),
é diferente de
.
Passo 3
Vamos pensar no caso com reposição. “Com reposição” significa que, após a primeira retirada, a mesma bola é devolvida à urna antes da segunda retirada, portanto a segunda retirada tem exatamente as mesmas opções que a primeira.
Contagem de opções: na primeira retirada há opções (
) e na segunda também há
opções. Pelo princípio da contagem (regra do produto), o número total de pares ordenados é
Contagem de opções: na primeira retirada há
Isso corresponde a listar todas as combinações possíveis de duas cores, permitindo repetição.
Passo 4
Agora listo explicitamente todas as
possibilidades no caso com reposição. O espaço amostral é
Cada par significa (cor da primeira retirada, cor da segunda retirada).
Passo 5
Agora o caso sem reposição. “Sem reposição” significa que, depois da primeira retirada, a bola não volta para a urna; portanto a segunda retirada tem uma opção a menos.
Contagem de opções: na primeira retirada há opções e, após tirar uma bola, restam
opções para a segunda. Pela regra do produto, o número total de pares ordenados é
Contagem de opções: na primeira retirada há
Outra forma de ver: é o número de permutações de
itens tomados
a
, que é
(O símbolo
significa fatorial:
.)
Passo 6
Agora listo explicitamente todas as
possibilidades no caso sem reposição. O espaço amostral é
Note que pares como
,
e
não aparecem aqui porque não é possível repetir a mesma bola quando não há reposição.
Passo 7
Pequeno exemplo prático para fixar: se eu quiser a probabilidade (assumindo que todas as bolas são igualmente prováveis a cada retirada) de tirar primeiro
e depois
,
- com reposição:
porque cada retirada tem probabilidade ;\n - sem reposição:
porque a primeira tem e, dada a primeira, a segunda tem .
Passo 8
Regra geral (para você aplicar rápido na prova):
- amostragem com reposição de
retiradas entre itens número de resultados ;\n - amostragem sem reposição de
retiradas entre itens número de resultados .
Isso ajuda a contar sem precisar listar tudo quandoe são maiores.
Resposta
a)
b)
b)