Exercício 9: (Derivada implícita) Determine a derivada:
-2 \operatorname{cosec} 2 x \operatorname{cotg} 2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x) = -2\,\csc\bigl(2x\bigr)\,\cot\bigl(2x\bigr).
O conteúdo principal aqui é derivação de funções trigonométricas usando regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Escrevemos
f(x) = -2\;g(x), \quad g(x) = \csc\bigl(2x\bigr)\,\cot\bigl(2x\bigr).
Como -2 é constante, teremos
f'(x) = -2\,g'(x).

Passo 3

Para achar g'(x), aplicamos a regra do produto às funções
a(x)=\csc\bigl(2x\bigr), \quad b(x)=\cot\bigl(2x\bigr).
Temos
a'(x) =\frac{d}{dx}\bigl[\csc(2x)\bigr] =-\csc\bigl(2x\bigr)\,\cot\bigl(2x\bigr)\times\frac{d}{dx}(2x) =-2\,\csc\bigl(2x\bigr)\,\cot\bigl(2x\bigr),
b'(x) =\frac{d}{dx}\bigl[\cot(2x)\bigr] =-\csc^2\bigl(2x\bigr)\times\frac{d}{dx}(2x) =-2\,\csc^2\bigl(2x\bigr).

Passo 4

Agora aplicamos produto:
g'(x) =a'(x)\,b(x)+a(x)\,b'(x) =-2\,\csc(2x)\,\cot(2x)\cdot\cot(2x) \;+\;\csc(2x)\,\bigl(-2\,\csc^2(2x)\bigr).
Logo
g'(x) =-2\,\csc(2x)\,\cot^2(2x) \;-\;2\,\csc^3(2x) =-2\,\csc(2x)\,\bigl(\cot^2(2x)+\csc^2(2x)\bigr).

Passo 5

Retornando a f'(x)=-2\,g'(x), obtemos
f'(x) =-2\Bigl[-2\,\csc(2x)\,\bigl(\cot^2(2x)+\csc^2(2x)\bigr)\Bigr] =4\,\csc(2x)\,\bigl(\cot^2(2x)+\csc^2(2x)\bigr).

Resposta

f'(x) = 4\,\csc\bigl(2x\bigr)\,\bigl(\cot^2\bigl(2x\bigr)+\csc^2\bigl(2x\bigr)\bigr).

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