Exercício 9: (Derivada implícita) Determine a derivada:
3 \operatorname{sec} 3 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=3\operatorname{sec}\bigl(3x\bigr).
O conteúdo usado será a regra da cadeia e a derivada da função secante.

Passo 2

Aplicamos a regra do fator constante: se f(x)=c\,g(x), então
f'(x)=c\,g'(x).
Aqui c=3 e g(x)=\operatorname{sec}(3x), logo
f'(x)=3\,\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sec}(3x)\bigr].

Passo 3

Usamos a derivada de \operatorname{sec} u: para u=u(x),
\frac{d}{dx}[\operatorname{sec}(u)]=\operatorname{sec}(u)\,\tan(u)\,\cdot u'(x).
No nosso caso, u(x)=3x.

Passo 4

Calculamos a derivada de u(x)=3x:
u'(x)=\frac{d}{dx}[3x]=3.

Passo 5

Substituindo em f'(x)=3\bigl[\operatorname{sec}(u)\tan(u)\,u'(x)\bigr] com u=3x,
f'(x)=3\bigl[\operatorname{sec}(3x)\tan(3x)\cdot 3\bigr] =9\,\operatorname{sec}(3x)\,\tan(3x).

Resposta

f'(x)=9\operatorname{sec}(3x)\tan(3x)

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