Exercício 1. Derive as seguintes funções:
f(x)=e^xsen(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=e^xsin(x)
O conteúdo principal aqui é o uso da regra do quociente para derivadas, além de sabermos que a derivada de e^x é e^x e a de sin(x) é cos(x).

Passo 2

Segundo a regra do quociente, para duas funções u(x) e v(x) com v(x)neq0, vale
gl(uvgr)'=u',v - u,v'v^2
Vamos aplicar isso tomando u(x)=e^x e v(x)=sin(x).

Passo 3

Identificando as derivadas de u e v:
u(x)=e^x, u'(x)=e^x,
v(x)=sin(x), v'(x)=cos(x)

Passo 4

Substituindo na fórmula da regra do quociente, obtemos
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2 =e^xsin(x)-e^xcos(x)sin^2(x)

Passo 5

Podemos ainda fatorar e^x no numerador para deixar a expressão mais enxuta:
f'(x) =e^xl[sin(x)-cos(x)r]sin^2(x)

Resposta

f'(x)=e^xl[sin(x)-cos(x)r]sin^2(x)

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