Seja f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} a função definida por f(x, y, z)=\frac{x+y+z}{1+x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Considere \epsilon>0 um número positivo dado.
(a) (1,0) Mostre que existe um \delta>0 tal que, para todo ponto (x, y, z),
\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}<\delta \Rightarrow|f(x, y, z)-f(0,0,0)|<\epsilon .
(b) (0,5) Suponha \epsilon=0,015. Determine um valor numérico para \delta.
Apresente as contas de modo organizado e, se necessário, justifique sua resposta.
Passo 1
Dados do enunciado e o que se pede.
A função é f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} dada por
f(x,y,z)=\frac{x+y+z}{1+x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Foi dado um número \epsilon>0.
(a) Pede-se mostrar que existe \delta>0 tal que, para todo ponto (x,y,z),
(b) Para \epsilon=0,015 determinar um valor numérico para \delta.
Observação: primeiro será escrito a expressão do erro |f(x,y,z)-f(0,0,0)| e, em seguida, construirá-se uma desigualdade que ligue esse erro a \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}; a partir daí escolhe-se \delta em função de \epsilon.
Passo 2
Calcular f(0,0,0) e escrever o módulo da diferença.
Escolha de \delta em função de \epsilon e conclusão do item (a).
Queremos que sempre que r<\delta então |f(x,y,z)-f(0,0,0)|<\epsilon. Pela desigualdade do passo anterior, é suficiente garantir
\sqrt{3}\,r<\epsilon.
Isto é, basta tomar
r<\frac{\epsilon}{\sqrt{3}}.
Portanto, escolhendo qualquer
\delta=\frac{\epsilon}{\sqrt{3}}>0,
temos que para todo (x,y,z) com \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}<\delta vale |f(x,y,z)-f(0,0,0)|<\epsilon. Isso prova a existência de \delta e mostra que f é contínua em (0,0,0).