Seja f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} a função definida por f(x, y, z)=\frac{x+y+z}{1+x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Considere \epsilon>0 um número positivo dado.
(a) (1,0) Mostre que existe um \delta>0 tal que, para todo ponto (x, y, z),
\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}<\delta \Rightarrow|f(x, y, z)-f(0,0,0)|<\epsilon .
(b) (0,5) Suponha \epsilon=0,015. Determine um valor numérico para \delta.
Apresente as contas de modo organizado e, se necessário, justifique sua resposta.

Passo 1

Dados do enunciado e o que se pede.
  • A função é f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} dada por
f(x,y,z)=\frac{x+y+z}{1+x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • Foi dado um número \epsilon>0.
  • (a) Pede-se mostrar que existe \delta>0 tal que, para todo ponto (x,y,z),
\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}<\delta \quad\Rightarrow\quad |f(x,y,z)-f(0,0,0)|<\epsilon.
  • (b) Para \epsilon=0,015 determinar um valor numérico para \delta.
Observação: primeiro será escrito a expressão do erro |f(x,y,z)-f(0,0,0)| e, em seguida, construirá-se uma desigualdade que ligue esse erro a \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}; a partir daí escolhe-se \delta em função de \epsilon.

Passo 2

Calcular f(0,0,0) e escrever o módulo da diferença.
  • Avaliando em (0,0,0) obtemos
f(0,0,0)=\frac{0+0+0}{1+0+0+0}=0.
  • Logo o erro é
|f(x,y,z)-f(0,0,0)|=\left|\frac{x+y+z}{1+x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right|.
Este é o valor que queremos tornar menor que \epsilon sempre que \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}<\delta.

Passo 3

Estimativa do numerador |x+y+z| em termos de r:=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Usa-se a desigualdade triangular e a desigualdade de Cauchy–Schwarz (ou norma euclidiana):
|x+y+z|\le |x|+|y|+|z|.
Além disso, considerando o produto escalar (1,1,1)\cdot(x,y,z)=x+y+z e aplicando Cauchy–Schwarz,
|x+y+z|\le \|(1,1,1)\|\,\|(x,y,z)\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}\;r=\sqrt{3}\;r.
Portanto obtemos a desigualdade útil
|x+y+z|\le \sqrt{3}\,r.

Passo 4

Estimativa do denominador e combinação das desigualdades.
Note que para todo (x,y,z) tem-se 1+x^{2}+y^{2}+z^{2}\ge 1. Assim
\left|\frac{x+y+z}{1+x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right| \le \frac{|x+y+z|}{1} \le \sqrt{3}\,r.
Logo conseguimos ligar o erro diretamente à norma r:
|f(x,y,z)-f(0,0,0)|\le \sqrt{3}\,r=\sqrt{3}\,\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.

Passo 5

Escolha de \delta em função de \epsilon e conclusão do item (a).
Queremos que sempre que r<\delta então |f(x,y,z)-f(0,0,0)|<\epsilon. Pela desigualdade do passo anterior, é suficiente garantir
\sqrt{3}\,r<\epsilon.
Isto é, basta tomar
r<\frac{\epsilon}{\sqrt{3}}.
Portanto, escolhendo qualquer
\delta=\frac{\epsilon}{\sqrt{3}}>0,
temos que para todo (x,y,z) com \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}<\delta vale |f(x,y,z)-f(0,0,0)|<\epsilon. Isso prova a existência de \delta e mostra que f é contínua em (0,0,0).

Passo 6

Cálculo numérico do item (b) para \epsilon=0,015.
Usando a escolha do passo anterior,
\delta=\frac{\epsilon}{\sqrt{3}}=\frac{0,015}{\sqrt{3}}.
Como \sqrt{3}\approx 1,732050808, temos
\delta\approx\frac{0,015}{1,732050808}\approx 0,0086602540\ldots
Arredondando convenientemente (por exemplo com 7 casas significativas) pode-se tomar
\delta\approx 0,0086603.

Resposta

\delta=\dfrac{\epsilon}{\sqrt{3}}
\delta=\dfrac{0,015}{\sqrt{3}}\approx 0,0086603

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