Exercício 1.8.2. Descreva as curvas de nível das funções.
Passo 1
O enunciado pede as curvas de nível de
. As curvas de nível são os conjuntos de pontos
em que
para uma constante real
. Vamos isolar essa expressão e identificar o formato geométrico, lembrando que o domínio exige
e
.
Passo 2
Partindo de
multiplicamos por
(que não pode ser zero) e obtemos
Passo 3
Agora elevamos ambos os lados ao quadrado, ficando
Isso mostra que, em princípio, cada curva de nível é uma parábola com vértice na origem e “abertura” vertical.
Passo 4
Precisamos incorporar a condição
. Da equação
segue que
Isto é, se
só faz sentido para
; se
só para
; e se
então
, daí
.
Resposta
Para cada
, a curva de nível
é a parte da parábola
com as seguintes restrições:
- Para
: apenas . - Para
: apenas . - Para
: a reta com .