Exercício 1.8.2. Descreva as curvas de nível das funções.
f(x, y)=raizyx

Passo 1

O enunciado pede as curvas de nível de f(x,y)=raizyx. As curvas de nível são os conjuntos de pontos (x,y) em que
raizyx=c
para uma constante real c. Vamos isolar essa expressão e identificar o formato geométrico, lembrando que o domínio exige y>=0 e xneq0.

Passo 2

Partindo de
raizyx=c,
multiplicamos por x (que não pode ser zero) e obtemos
raizy=c,x

Passo 3

Agora elevamos ambos os lados ao quadrado, ficando
y = c^2,x^2
Isso mostra que, em princípio, cada curva de nível é uma parábola com vértice na origem e “abertura” vertical.

Passo 4

Precisamos incorporar a condição raizy>=0. Da equação raizy=c,x segue que
c,x>=0
Isto é, se c>0 só faz sentido para x>0; se c<0 só para x<0; e se c=0 então raizy=0, daí y=0.

Resposta

Para cada cinR, a curva de nível f(x,y)=c é a parte da parábola
y = c^2,x^2
com as seguintes restrições:
  • Para c>0: apenas x>0.
  • Para c<0: apenas x<0.
  • Para c=0: a reta y=0 com xneq0.

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