Determine e classifique os pontos críticos.
(h) f(x, y)=x^5+y^5

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos de
f(x,y)=x^5+y^5.
O procedimento padrão envolve calcular o gradiente para achar os pontos críticos e, em seguida, usar a matriz Hessiana para tentar classificá-los. Se a Hessiana for inconclusiva, fazemos um estudo de sinais em direções para ver se é mínimo, máximo ou sela.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f:
fx = partialpartial x(x^5+y^5) = 5x^4, fy = partialpartial y(x^5+y^5) = 5y^4
Para pontos críticos, impomos
5x^4 = 0, 5y^4 = 0
que resulta em
x=0, y=0
Portanto, o único ponto crítico é (0,0).

Passo 3

Agora montamos a matriz Hessiana de f:
H(x,y) = fxx & fxy [-6pt] fyx & fyy = 20x^3 & 0 [-4pt] 0 & 20y^3
Em (0,0) temos
H(0,0) = 0 & 0 [-4pt] 0 & 0 ,
ou seja, o teste de segunda derivada é inconclusivo (nem positivo definido, nem negativo definido).]

Passo 4

Para classificar (0,0), examinamos o sinal de f em direções simples. Por exemplo, na reta y=0 temos
f(x,0) = x^5
Quando x>0 pequeno, f(x,0)>0; quando x<0 pequeno, f(x,0)<0. Logo, em qualquer vizinhança de (0,0) a função assume valores positivos e negativos. Isso caracteriza um ponto de sela degenerado.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0) e ele é um ponto de sela.

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