Determine e classifique os pontos críticos.
(h)
(h)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos de
.
O procedimento padrão envolve calcular o gradiente para achar os pontos críticos e, em seguida, usar a matriz Hessiana para tentar classificá-los. Se a Hessiana for inconclusiva, fazemos um estudo de sinais em direções para ver se é mínimo, máximo ou sela.
O procedimento padrão envolve calcular o gradiente para achar os pontos críticos e, em seguida, usar a matriz Hessiana para tentar classificá-los. Se a Hessiana for inconclusiva, fazemos um estudo de sinais em direções para ver se é mínimo, máximo ou sela.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
:
Para pontos críticos, impomos
que resulta em
Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 3
Agora montamos a matriz Hessiana de
:
Em
temos
ou seja, o teste de segunda derivada é inconclusivo (nem positivo definido, nem negativo definido).]
Passo 4
Para classificar
, examinamos o sinal de
em direções simples. Por exemplo, na reta
temos
Quando
pequeno,
; quando
pequeno,
. Logo, em qualquer vizinhança de
a função assume valores positivos e negativos. Isso caracteriza um ponto de sela degenerado.
Resposta
O único ponto crítico é
e ele é um ponto de sela.