Exercício 1.3.1. Descreva e esboce as curvas de nível de cada função para os valores dados de c.
f(x, y)=x y, c= pm 1, pm 2, ldots, pm 5.

Passo 1

O enunciado pede para descrever e esboçar as curvas de nível da função
fcolonR^2toR, f(x,y)=xy
para os valores
c=pm1,pm2,pm3,pm4,pm5
O conteúdo envolvido é geometria de curvas de nível e identificação de hipérboles em coordenadas cartesianas.

Passo 2

As curvas de nível são dadas por
f(x,y)=c Long<=ftrightarrow xy=c
Para xneq0 podemos reescrever
y=cx,
que é a forma padrão de uma hipérbole equilátera centrada na origem.

Passo 3

Cada equação xy=c define uma hipérbole com assíntotas nos eixos coordenados x=0 e y=0.
  • Se c>0, os ramos ficam no primeiro e no terceiro quadrantes.
  • Se c<0, os ramos ficam no segundo e no quarto quadrantes.

Passo 4

Comportamento assintótico:
limxto0y=pminfty, limxtopminftyy=0,
logo os eixos x e y são assíntotas horizontais e verticais. À medida que lvert crvert aumenta, os ramos se afastam da origem, e para lvert crvert pequeno eles ficam mais próximos.

Passo 5

Esboço qualitativo para cada c:
  • Para c=1, a curva passa por (1,1) e (-1,-1) (quadrantes I e III).
  • Para c=2, passa por (2,1), (1,2), (-2,-1), (-1,-2).
  • De modo análogo desenhamos as hipérboles y=c/x para c=3,4,5 nos quadrantes I e III; para c=-1,-2,-3,-4,-5 nos quadrantes II e IV.
    Em cada caso, traçamos dois ramos simétricos em relação à origem, aproximando-se dos eixos como assíntotas.

Resposta

As curvas de nível de f(x,y)=xy para c=pm1,pm2,dots,pm5 são as hipérboles
xy=c Long<=ftrightarrow y=cx,
com ramos em primeiro e terceiro quadrantes se c>0, em segundo e quarto quadrantes se c<0, e com assíntotas x=0 e y=0.

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