Exercício 1.3.1. Descreva e esboce as curvas de nível de cada função para os valores dados de
.
.
Passo 1
O enunciado pede para descrever e esboçar as curvas de nível da função
para os valores
O conteúdo envolvido é geometria de curvas de nível e identificação de hipérboles em coordenadas cartesianas.
Passo 2
As curvas de nível são dadas por
Para
podemos reescrever
que é a forma padrão de uma hipérbole equilátera centrada na origem.
Passo 3
Cada equação
define uma hipérbole com assíntotas nos eixos coordenados
e
.
- Se
, os ramos ficam no primeiro e no terceiro quadrantes. - Se
, os ramos ficam no segundo e no quarto quadrantes.
Passo 4
Comportamento assintótico:
logo os eixos
e
são assíntotas horizontais e verticais. À medida que
aumenta, os ramos se afastam da origem, e para
pequeno eles ficam mais próximos.
Passo 5
Esboço qualitativo para cada
:
- Para
, a curva passa por e (quadrantes I e III). - Para
, passa por , , , . - De modo análogo desenhamos as hipérboles
para nos quadrantes I e III; para nos quadrantes II e IV.
Em cada caso, traçamos dois ramos simétricos em relação à origem, aproximando-se dos eixos como assíntotas.
Resposta
As curvas de nível de
para
são as hipérboles
com ramos em primeiro e terceiro quadrantes se
, em segundo e quarto quadrantes se
, e com assíntotas
e
.