Sejam e duas funções definidas num aberto de . Mostre que
i) Se é conexo e se existem constantes e tais que , para todos os pontos e contidos em , então é uma função constante.
ii) Se é diferenciável num ponto é uma sequência em tal que e é uma sequência em tal que , então .
iii) Mostre que se existe uma constante tal que e uma função contínua em 0 tal que , então é diferenciável no ponto .
iv) Mostre que se e são diferenciáveis num ponto e , então se, e somente se,
Passo 1
O enunciado trata de duas funções definidas num aberto . Precisamos mostrar quatro afirmações:
. Se é conexo e existe , tais que
então é constante.
. Se é diferenciável em , com e com , então
. Se existe com e uma função contínua em tal que
então é diferenciável em .
. Se e são diferenciáveis em e , mostrar que se, e somente se,
Nos valemos das definições de diferenciabilidade e estimativas de norma para provar cada item.
Passo 2
(Prova de i)
Para conecte-os por um segmento parametrizado , . Para um inteiro particione em pontos com malha . Então
Se o limite à esquerda é 0 para todo modo de aproximação vto0, então |(df(a)-dg(a))(u)|=0 para todo vetor unitário u, o que implica df(a)-dg(a)=0. Portanto df(a)=dg(a).
Resposta
(i) f é constante em Omega.
(ii) limktoinftyf(a+tkvk)-f(a)tk=df(a)(v)
(iii) f é diferenciável em a e df(a)=A(0).
(iv) df(a)=dg(a)iff limvto0f(a+v)-g(a+v)|v|=0