(2 pontos) Considere a curva dada pela intersecção entre o cilindro e o plano , em que e . O objetivo do exercício é mostrar a seguinte igualdade sem usar integral de linha:
Para isso, use o Teorema de Stokes e transforme a integral acima na integral de fluxo de uma função sobre uma superfície adequada. Ache uma orientação apropriada da normal da superfície (o que equivale a achar um sentido adequado para a curva ) a fim de obter sinal correto do lado direito da equação.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
sendo a interseção do cilindro com o plano
Em vez de fazer a integral de linha direta, vamos aplicar o Teorema de Stokes e transformá-la numa integral de fluxo de sobre a parte do plano limitada por .
Passo 2
Defina o campo vetorial
Calculamos o rotacional:
]
Passo 3
Escolhemos como superfície S o pedaço do plano
Sigma:;z = b - tfracba,x
estendido sobre o disco projetado no plano xy
D:;x^2+y^2<= a^2
Uma parametrização é
r(x,y)=l(x,;y,;b-tfracbaxr), (x,y)in D
Então
rx=(1,0,-tfracba), ry=(0,1,0),
e a normal não normalizada é
N = rxtimes ry =l(tfracba,,0,,1r)
Passo 4
Pelo Teorema de Stokes,
ointC Fcdot d r =integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS =integral duplaD(nablatimes F)cdot N,dA,
onde aproveitamos que N,dA = n,dS. Logo,
(nablatimes F)cdot N =(-2,-2,-2)cdotl(tfracba,0,1r) =-2l(tfracba+1r)
Assim
ointC Fcdot d r =integral duplaD-2l(tfracba+1r),dA =-2l(tfracba+1r),pi a^2 =-2pi a(a+b)
Para obter o sinal positivo pedido, invertemos a orientação da normal (isto é, usamos - N), o que inverte a orientação de C e dá