(2 pontos) Considere C a curva dada pela intersecção entre o cilindro x^2+y^2=a^2 e o plano xa+zb=1, em que a>0 e b>0. O objetivo do exercício é mostrar a seguinte igualdade sem usar integral de linha:
integralC(y-z) d x+(z-x) d y+(x-y) d z=2 pi a(a+b)
Para isso, use o Teorema de Stokes e transforme a integral acima na integral de fluxo de uma função sobre uma superfície adequada. Ache uma orientação apropriada da normal da superfície (o que equivale a achar um sentido adequado para a curva C ) a fim de obter sinal correto do lado direito da equação.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
ointC(y - z),dx + (z - x),dy + (x - y),dz
sendo C a interseção do cilindro x^2+y^2=a^2 com o plano
xa+zb=1
Em vez de fazer a integral de linha direta, vamos aplicar o Teorema de Stokes e transformá-la numa integral de fluxo de nablatimes F sobre a parte do plano limitada por C.

Passo 2

Defina o campo vetorial
F(x,y,z)=l(P,Q,Rr) = l(y - z,;z - x,;x - yr)
Calculamos o rotacional:
nablatimes F = i & j & k[6pt] partialx & partialy & partialz[3pt] y - z & z - x & x - y =(-2,,-2,,-2) =-2,(1,1,1) ]

Passo 3

Escolhemos como superfície S o pedaço do plano
Sigma:;z = b - tfracba,x
estendido sobre o disco projetado no plano xy
D:;x^2+y^2<= a^2
Uma parametrização é
r(x,y)=l(x,;y,;b-tfracbaxr), (x,y)in D
Então
rx=(1,0,-tfracba), ry=(0,1,0),
e a normal não normalizada é
N = rxtimes ry =l(tfracba,,0,,1r)

Passo 4

Pelo Teorema de Stokes,
ointC Fcdot d r =integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS =integral duplaD(nablatimes F)cdot N,dA,
onde aproveitamos que N,dA = n,dS. Logo,
(nablatimes F)cdot N =(-2,-2,-2)cdotl(tfracba,0,1r) =-2l(tfracba+1r)
Assim
ointC Fcdot d r =integral duplaD-2l(tfracba+1r),dA =-2l(tfracba+1r),pi a^2 =-2pi a(a+b)
Para obter o sinal positivo pedido, invertemos a orientação da normal (isto é, usamos - N), o que inverte a orientação de C e dá
ointC(y - z),dx + (z - x),dy + (x - y),dz =+2pi a(a+b)

Resposta

2pi a(a+b)

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