Sejam
e
e
funções diferenciáveis, em que
e
são abertos de
e
.
i) Mostre que
, em que
é o funcional linear que corresponde a matriz
. Observe que
é uma matriz
e
é uma matriz
.
ii) Mostre que se existe uma constante
tal que
, para todo
e
para um certo
, então
não é invertível.
iii) Mostre que se
é uma função constante, em que
.
é a norma euclidiana, então a matriz
não é invertível para nenhum
.
iv) Suponha que
seja perpendicular a
e que
seja perpendicular a
, para todo
e
. Se
for conexo, o que se pode dizer da função
?
i) Mostre que
ii) Mostre que se existe uma constante
iii) Mostre que se
iv) Suponha que
Passo 1
O enunciado trata de funções diferenciáveis
e
com
. Vamos usar o regra da cadeia para composições, o fato de derivada de constante ser zero e a derivada da norma euclidiana, além do produto interno para responder cada item.
Passo 2
Para (i) aplicamos a regra da cadeia: ao compor
, o diferencial em
numa direção
é
Como
corresponde ao vetor gradiente
visto como funcional linear
, e
corresponde a
, conclui-se que
ou seja, o funcional linear é definido pela matriz
.
Passo 3
Para (ii) se
é constante em
, então
Pela parte (i) isso dá
isto é,
como linha não nula (já que
). Se
fosse invertível, multiplicaria à direita pela inversa e obteríamos
, contradição. Logo
não é invertível.
Passo 4
Para (iii) observe que a função
é
com
. Se
é constante igual a
, dois casos:
- Se
, então e é claramente singular. - Se
, a derivada de é que é não nula em . Como é constante, aplicamos o raciocínio do item (ii) para concluir que não pode ser invertível em nenhum .
Passo 5
Para (iv) considere a função escalar
Seu diferencial em
vale
Pela hipótese,
e
, logo cada produto interno é zero e
para todo
. Isso significa que
é constante em cada componente conexa de
. Como
é conexo,
é constante em todo
.
Resposta
i) Válido pela regra da cadeia:
ii) Como
é constante e
, segue
.
iii) Com , tem-se
constante e
ou
; em ambos os casos
é singular para todo
.
iv) A função tem diferencial nulo em
conexo, logo é constante.
iii) Com
iv) A função