Sejam f: Omega subset R^m R^m e g: Omega subset R^m R^m e varphi: tildeOmega subset R^m R funções diferenciáveis, em que Omega e tildeOmega são abertos de R^m e f(Omega) subset tildeOmega.
i) Mostre que d(varphi circ f)(x)(v)=T(v), em que T é o funcional linear que corresponde a matriz nabla varphi(f(x)) J f(x). Observe que nabla varphi(f(x)) é uma matriz 1 times m e J f(x) é uma matriz m times m.
ii) Mostre que se existe uma constante c tal que varphi circ f(x)=c, para todo x in Omega e nabla varphi(f(a)) neq 0 para um certo a in Omega, então J f(a) não é invertível.
iii) Mostre que se x in Omega mapsto|f(x)| é uma função constante, em que |. | é a norma euclidiana, então a matriz J f(x) não é invertível para nenhum x in Omega.
iv) Suponha que d f(x)(v) seja perpendicular a g(x) e que d g(x)(v) seja perpendicular a f(x), para todo v in R^m e x in Omega. Se Omega for conexo, o que se pode dizer da função x in Omega mapstolang<= f(x), g(x)rang<= ?

Passo 1

O enunciado trata de funções diferenciáveis f,g:OmegasubsetR^mtoR^m e varphi:tildeOmegasubsetR^mtoR com f(Omega)subsettildeOmega. Vamos usar o regra da cadeia para composições, o fato de derivada de constante ser zero e a derivada da norma euclidiana, além do produto interno para responder cada item.

Passo 2

Para (i) aplicamos a regra da cadeia: ao compor varphicirc f, o diferencial em x numa direção v é
d(varphicirc f)(x)(v) =;dvarphil(f(x)r)l(d f(x)(v)r)
Como dvarphi(f(x)) corresponde ao vetor gradiente nablavarphi(f(x)) visto como funcional linear 1times m, e d f(x)(v) corresponde a Jf(x),v, conclui-se que
d(varphicirc f)(x)(v) =l[nablavarphi(f(x))r];(Jf(x),v)
ou seja, o funcional linear é definido pela matriz nablavarphi(f(x)),Jf(x).

Passo 3

Para (ii) se varphicirc f(x)=c é constante em Omega, então
d(varphicirc f)(a)(v)=0 forall,v
Pela parte (i) isso dá
nablavarphi(f(a));Jf(a);v=0 forall,v,
isto é, nablavarphi(f(a)),Jf(a)=0 como linha não nula (já que nablavarphi(f(a))neq0). Se Jf(a) fosse invertível, multiplicaria à direita pela inversa e obteríamos nablavarphi(f(a))=0, contradição. Logo Jf(a) não é invertível.

Passo 4

Para (iii) observe que a função xmapsto|f(x)| é varphicirc f com varphi(y)=|y|. Se |f(x)| é constante igual a k, dois casos:
  • Se k=0, então fequiv0 e Jf(x)=0 é claramente singular.
  • Se k>0, a derivada de varphi(y)=|y| é nablavarphi(y)=y^T|y|, que é não nula em y=f(x). Como varphicirc f é constante, aplicamos o raciocínio do item (ii) para concluir que Jf(x) não pode ser invertível em nenhum x.

Passo 5

Para (iv) considere a função escalar
h(x)=lang<= f(x),,g(x)rang<=
Seu diferencial em x vale
dh(x)(v) =lang<= df(x)(v),g(x)rang<=+lang<= f(x),dg(x)(v)rang<=
Pela hipótese, df(x)(v)perp g(x) e dg(x)(v)perp f(x), logo cada produto interno é zero e dh(x)(v)=0 para todo v. Isso significa que h é constante em cada componente conexa de Omega. Como Omega é conexo, h(x) é constante em todo Omega.

Resposta

i) Válido pela regra da cadeia:
d(varphicirc f)(x)(v) =nablavarphi(f(x)),Jf(x),v
ii) Como varphicirc f é constante e nablavarphi(f(a))neq0, segue det Jf(a)=0.
iii) Com varphi(y)=|y|, tem-se varphicirc f constante e nablavarphi(f(x))neq0 ou fequiv0; em ambos os casos Jf(x) é singular para todo x.
iv) A função xmapstolang<= f(x),g(x)rang<= tem diferencial nulo em Omega conexo, logo é constante.

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