Exercício 2.4.4. Sejam g(t)=raizt+t^2 e f(x, y)=3 x+2 y-5, determine h(x, y)= g(f(x, y)) e o conjunto no qual h é contínua.

Passo 1

O enunciado dá as funções
g(t)=raizt+t^2, f(x,y)=3x+2y-5
e pede h(x,y)=gl(f(x,y)r) e o conjunto em que h é contínua.
Conteúdo: composição de funções e condição de domínio para continuidade de uma raiz.

Passo 2

Para compor, note que f(x,y)=3x+2y-5. Assim
h(x,y)=gl(f(x,y)r) =raiz,f(x,y),+l(f(x,y)r)^2
Substituindo f(x,y) obtemos
h(x,y)=raiz3x+2y-5+l(3x+2y-5r)^2

Passo 3

A raiz quadrada raiz,cdot, exige que o argumento seja não negativo, isto é
3x+2y-5>=0
Logo o domínio natural de h é
(x,y)inR^2mid 3x+2y-5>=0

Passo 4

A função f é polinomial, portanto contínua em R^2. A função g é soma de raizt, contínua em [0,infty), com t^2, contínua em R, logo g é contínua em [0,infty). Pela propriedade de continuidade da composição, h=gcirc f é contínua exatamente onde f(x,y) está em [0,infty), ou seja no conjunto do passo anterior.

Resposta

h(x,y)=raiz3x+2y-5+l(3x+2y-5r)^2,
contínua no conjunto (x,y)inR^2mid3x+2y-5>=0.

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