Exercício 2.3.6. Faça o gráfico do sólido limitado por z=4-x^2-2 y^2 e o plano x y. Escreva os intervalos de variação para x, y e z. Observando o gráfico da função você identifica pontos de máximo ou de mínimo absoluto? Explique.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o sólido limitado pela superfície z=4 - x^2 - 2y^2 (um paraboloide para baixo) e pelo plano z=0 (plano xy). Precisamos:
  1. Determinar a curva de interseção entre as duas superfícies.
  2. Encontrar os limites de variação de x, y e z.
  3. Identificar, observando o gráfico, se há ponto de máximo ou mínimo absoluto.

Passo 2

Para achar a curva de interseção fazemos z=4 - x^2-2y^2=0, isto é,
x^2+2y^2=4
Essa é uma elipse no plano xy que define a “base” do sólido.

Passo 3

A região projetada no plano xy é
D=(x,y)mid x^2+2y^2<=4
Daí podemos extrair intervalos “globais”:
-2<= x<= 2, -raiz2<= y<= raiz2,
sujeitos à condição x^2+2y^2<=4. Alternativamente, para cada yin[-raiz2,raiz2] temos
-raiz4-2y^2;<= x;<=;raiz4-2y^2

Passo 4

No sólido, z varia entre o plano inferior z=0 e a superfície superior z=4-x^2-2y^2. Assim,
0;<= z;<=;4 - x^2 - 2y^2
Globalmente, o menor valor de z é 0 e o maior é 4.

Passo 5

Analisando a forma z=4 - x^2 - 2y^2:
  • O valor máximo de z ocorre em (x,y)=(0,0), onde zmax=4.
  • Dentro do sólido, o valor mínimo de z é 0, atingido em toda a elipse x^2+2y^2=4.
    Logo há um único ponto de máximo absoluto (0,0,4) e infinitos pontos de mínimo absoluto na fronteira, todos com z=0.

Resposta

Gráfico: paraboloide z=4-x^2-2y^2 truncado pelo plano z=0, formando um “bowl” cuja base é a elipse x^2+2y^2=4.
Intervalos:
-2<= x<=2, -raiz2<= y<=raiz2, 0<= z<=4-x^2-2y^2
Ponto de máximo absoluto em (0,0,4) com zmax=4.
Mínimo absoluto zmin=0 em toda a elipse de interseção.

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