Exercício 2.3.6. Faça o gráfico do sólido limitado por
e o plano
. Escreva os intervalos de variação para
e
. Observando o gráfico da função você identifica pontos de máximo ou de mínimo absoluto? Explique.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o sólido limitado pela superfície
(um paraboloide para baixo) e pelo plano
(plano
). Precisamos:
- Determinar a curva de interseção entre as duas superfícies.
- Encontrar os limites de variação de
, e . - Identificar, observando o gráfico, se há ponto de máximo ou mínimo absoluto.
Passo 2
Para achar a curva de interseção fazemos
, isto é,
Essa é uma elipse no plano
que define a “base” do sólido.
Passo 3
A região projetada no plano
é
Daí podemos extrair intervalos “globais”:
sujeitos à condição
. Alternativamente, para cada
temos
Passo 4
No sólido,
varia entre o plano inferior
e a superfície superior
. Assim,
Globalmente, o menor valor de
é
e o maior é
.
Passo 5
Analisando a forma
:
- O valor máximo de
ocorre em , onde . - Dentro do sólido, o valor mínimo de
é , atingido em toda a elipse .
Logo há um único ponto de máximo absolutoe infinitos pontos de mínimo absoluto na fronteira, todos com .
Resposta
Gráfico: paraboloide
truncado pelo plano
, formando um “bowl” cuja base é a elipse
.
Intervalos:
Intervalos:
Ponto de máximo absoluto em
com
.
Mínimo absoluto em toda a elipse de interseção.
Mínimo absoluto