Exercício 3. Descreva um espaço amostral Ω adequado aos seguintes experimentos aleatórios. Responda se Ω é finito, infinito enumerável ou infinito não-enumerável, e determine sua cardinalidade no caso finito.
Um dado é lançado 3 vezes e a sequência de números obtida é contada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descrever o espaço amostral $ \Omega $ para o experimento de lançar um dado 3 vezes e contar a sequência de números que sai. Além disso, temos que dizer se esse espaço é finito, infinito enumerável ou infinito não-enumerável, e se for finito, determinar a cardinalidade dele (ou seja, quantos elementos ele tem). Para isso, vamos usar conceitos de teoria das probabilidades e combinações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o espaço amostral $ \Omega $. Ele é o conjunto de todos os resultados possíveis que podem ocorrer em um experimento aleatório. No nosso caso, o experimento é lançar um dado 3 vezes e anotar a sequência de números que aparece.

Passo 3

Um dado comum tem 6 faces, numeradas de 1 a 6. Cada lançamento do dado é independente, ou seja, o resultado de um lançamento não afeta o outro. Portanto, para cada um dos 3 lançamentos, temos 6 possibilidades.

Passo 4

Para encontrar o número total de sequências possíveis, usamos o Princípio Fundamental da Contagem. Como são 3 lançamentos e cada um tem 6 opções, multiplicamos o número de possibilidades de cada lançamento:
6 times 6 times 6 = 6^3 = 216

Passo 5

Então, o espaço amostral $ \Omega $ é o conjunto de todas essas 216 sequências possíveis. Cada sequência é uma combinação de três números, onde cada número vai de 1 a 6.

Passo 6

Agora, vamos determinar se $ \Omega $ é finito, infinito enumerável ou infinito não-enumerável. Vimos que existem 216 sequências possíveis, então $ \Omega $ tem um número limitado de elementos.

Passo 7

Como $ \Omega $ tem um número finito de elementos (216), ele é um espaço amostral finito. A cardinalidade de $ \Omega $ é 216.

Resposta

O espaço amostral $ \Omega $ é o conjunto de todas as 216 sequências possíveis de três lançamentos de um dado, ou seja:
Omega
Esse espaço amostral é finito e possui cardinalidade 216.

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