Exercício 1) Desenhe os conjunto abaixo, realçando sua fronteira e diga, justificando, se são abertos, fechados, limitados, compactos. B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} / 0<x^{2}+y^{2} \leq 4\right\};
Dizer, justificando, se B é aberto, fechado, limitado e compacto.
Informações relevantes que temos do enunciado:
A condição 0<x^{2}+y^{2}\leq 4 usa a distância ao origem: \sqrt{x^{2}+y^{2}} é a coordenada radial r.
Portanto B contém todos os pontos com raio r tais que 0<r\leq 2: é um “anel” que vai do interior do círculo de raio 2 (excluindo a origem) até a circunferência de raio 2 (incluída).
Passo 2
Breve lembrete das definições que vamos usar (com exemplos e intuição):
Ponto interior: um ponto p está no interior de um conjunto S se existe um raio \varepsilon>0 tal que a bola aberto B(p,\varepsilon) fica totalmente dentro de S. Intuição: dá para desenhar uma pequena bolinha em torno de p sem sair de S.
Conjunto aberto: todo ponto do conjunto é interior.
Conjunto fechado: contém todos os seus pontos de aderência (equivalente, o complemento é aberto). Intuição: se uma sequência de pontos do conjunto converge, o limite também pertence ao conjunto.
Fecho (closure) de S: é \overline{S}, o conjunto de todos os pontos que são limites de sequências em S.
Fronteira (boundary) de S: \partial S=\overline{S}\setminus\operatorname{int}(S). São os pontos onde qualquer vizinhança encontra S e o complemento de S.
Limitado (bounded): existe R>0 tal que S está contido na bola centrada na origem de raio R.
Compacto em \mathbb{R}^2: pela caracterização de Heine–Borel, S é compacto se, e somente se, é fechado e limitado.
Vou aplicar essas definições passo a passo a B.
Passo 3
Interpretação geométrica e dica para desenhar:
Usando coordenadas polares, x^{2}+y^{2}=r^{2}. A condição 0<r^{2}\leq 4 equivale a 0<r\leq 2.
Geometricamente: o conjunto B é o disco de raio 2 sem o ponto central (0,0), mas com a circunferência de raio 2 incluída.
Como desenhar: desenhar o círculo de raio 2 traçado com linha sólida (pois está incluído). Pintar o interior até chegar bem perto do centro, mas marcar o ponto (0,0) como aberto (um pequeno círculo vazio) porque o ponto origem não pertence a B.
Passo 4
Determinar o interior de B (passo para decidir se é aberto):
Seja p=(x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2 com r_0=\sqrt{x_0^2+y_0^2}.
Se 0<r_0<2, proponho provar que p é ponto interior de B. Defina
Logo 0<\|q\|<2, isto é, 0<q_x^2+q_y^2<4, e portanto q\in B. Assim a bola B(p,\varepsilon) está contida em B. Logo todo ponto com 0<r_0<2 é interior.
Conclusão: \operatorname{int}(B)=\{(x,y)\mid 0< x^{2}+y^{2}<4\}. Em palavras: o interior é o disco aberto de raio 2 sem o centro.
Passo 5
Verificar pontos na circunferência r=2 e na origem:
Se p está na circunferência, isto é \|p\|=2, então para qualquer \varepsilon>0 a bola B(p,\varepsilon) conterá pontos com norma maior que 2 (basta deslocar um pouco na direção radial para fora). Esses pontos com \|q\|>2 não pertencem a B. Portanto não existe \varepsilon>0 tal que B(p,\varepsilon)\subset B. Logo pontos com r=2 não são pontos interiores.
O ponto origem (0,0) não pertence a B (porque a condição exige 0<x^2+y^2). Assim a origem não é ponto interior de B (nem pertence ao conjunto).
Passo 6
Determinar o fecho (closure) \overline{B}:
Observação: qualquer ponto com 0<r<2 já está em B, logo está no fecho.
A circunferência r=2 já está incluída em B, logo também no fecho.
A origem r=0 é ponto de aderência de B: por exemplo, a sequência p_n=\left(\tfrac{1}{n},0\right) pertence a B e p_n\to(0,0). Portanto (0,0)\in\overline{B}.
Não há outros pontos com r>2 que sejam aderentes porque existe uma vizinhança exterior que evita B.
Conclusão: \overline{B}=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\}, isto é, o disco fechado de raio 2 (incluindo a origem).
Passo 7
Determinar a fronteira \partial B:
Por definição \partial B=\overline{B}\setminus\operatorname{int}(B).
Ou seja, a fronteira é a união da circunferência de raio 2 e do ponto origem. Na figura: realçar a circunferência (linha sólida) e marcar o ponto central como pertencente à fronteira (mesmo que não esteja em B).
Passo 8
Decidir se B é aberto, fechado, limitado, compacto (com justificativas):
Aberto? Não. Justificativa: pontos da circunferência r=2 pertencem a B mas não são pontos interiores (ver Passo 5), portanto nem todo ponto de B é interior; logo B não é aberto.
Fechado? Não. Justificativa: a origem (0,0) é ponto de adesão de B (Passo 6) mas não pertence a B; como um conjunto fechado deve conter todos os seus pontos de aderência, B não é fechado.
Limitado? Sim. Justificativa: para todo (x,y)\in B tem x^{2}+y^{2}\le 4, então \sqrt{x^{2}+y^{2}}\le 2. Logo B está contido na bola fechada centrada na origem de raio 2; portanto é limitado.
Compacto? Não. Justificativa: em \mathbb{R}^2 (espaço euclidiano) um conjunto é compacto se, e somente se, é fechado e limitado (Heine–Borel). Já vimos que B é limitado mas não é fechado; portanto B não é compacto. Outra maneira mais concreta: a sequência p_n=(1/n,0) está em B e converge para (0,0)\notin B; um conjunto compacto deveria ter todo limite de sequência convergente pertencente a ele, logo B não pode ser compacto.