Exercício 1) Desenhe os conjunto abaixo, realçando sua fronteira e diga, justificando, se são abertos, fechados, limitados, compactos.
A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} / x^{2}+y^{2}<1\right\};

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
A=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}<1\right\}.
Pede-se:
  • desenhar o conjunto, realçando sua fronteira;
  • dizer, com justificativa, se A é aberto, fechado, limitado e compacto.
Informações relevantes fornecidas:
  • A é o conjunto de todos os pontos do plano cuja distância à origem é estritamente menor que 1;
  • a fronteira habitual de conjuntos em \mathbb{R}^2 será pedida (ou seja, o conjunto dos pontos que “tocam” tanto A quanto o complemento).

Passo 2

Como desenhar e como realçar a fronteira (descrição prática para a prova):
  • Desenhar um círculo de raio 1 centrado na origem (0,0). Esse círculo tem equação \;x^{2}+y^{2}=1\;.
  • Como A é o interior desse círculo (a desigualdade é estrita "<1"), sombrear a região interna ao círculo, mas não desenhar a circunferência como parte preenchida. Para realçar que a circunferência não pertence a A, desenhar a circunferência tracejada (ou desenhar sólida mas com a borda destacada) e indicar que a fronteira é exatamente \;x^{2}+y^{2}=1\;.
  • Se quiser enfatizar graficamente: pontos internos são preenchidos; pontos exatamente sobre o círculo são marcados com pontos vazados ou com estilo diferente para mostrar que não pertencem a A.

Passo 3

Definições úteis e instrumento principal que usarei (com explicação didática):
  • Norma ou distância ao origem: para (x,y) define-se \| (x,y)\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. É a distância euclidiana ao ponto (0,0).
  • Bola aberta centrada em p e raio \varepsilon>0: \;B(p,\varepsilon)=\{q\in\mathbb{R}^2 \mid \|q-p\|<\varepsilon\}.) É o conjunto de todos os pontos estritamente a menos de \varepsilon de p.
  • Um conjunto U\subset\mathbb{R}^2 é aberto se, para todo p\in U, existe \varepsilon>0 tal que B(p,\varepsilon)\subset U.
    Vou provar que A é aberto aplicando essa definição.

Passo 4

Prova de que A é aberto (passo a passo):
  • Tome um ponto arbitrário p=(x_{0},y_{0})\in A. Então \|p\|=\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}=\rho satisfaz \rho<1.
  • Defina \varepsilon=1-\rho. Note que \varepsilon>0 porque \rho<1.
  • Seja q qualquer ponto com \|q-p\|<\varepsilon. Pela desigualdade triangular reversa temos
\big|\|q\|-\|p\|\big|\le \|q-p\|<\varepsilon.
Logo \|q\|<\|p\|+\varepsilon=\rho+(1-\rho)=1. Assim \|q\|<1, ou seja q\in A.
  • Conclusão: B(p,\varepsilon)\subset A. Como p foi arbitrário, todo ponto de A tem uma bola aberta contida em A. Portanto A é aberto.
Comentário intuitivo: qualquer ponto estritamente dentro do círculo tem folga até a borda; essa folga é exatamente \varepsilon=1-\rho.

Passo 5

Determinação da fronteira de A (definição e prova):
  • Definição: a fronteira (ou bordo) de um conjunto S é o conjunto dos pontos z tais que toda bola B(z,\varepsilon) interseciona tanto S quanto o complemento de S.
  • Vamos mostrar que a fronteira de A é exatamente o círculo \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}=1\}.
Prova em duas partes:
  1. Se p satisfaz \|p\|=1 então p está na fronteira.
  • Seja \varepsilon>0. Considere o vetor unitário na direção de p, isto é u=p/\|p\| (quando p\neq(0,0); aqui \|p\|=1 então u=p).
  • Os pontos p_{\mathrm{in}}=(1-\tfrac{\varepsilon}{2})u e p_{\mathrm{out}}=(1+\tfrac{\varepsilon}{2})u satisfazem
\|p_{\mathrm{in}}-p\|=\tfrac{\varepsilon}{2}<\varepsilon,\qquad \|p_{\mathrm{out}}-p\|=\tfrac{\varepsilon}{2}<\varepsilon.
Além disso \|p_{\mathrm{in}}\|=1-\tfrac{\varepsilon}{2}<1 (logo p_{\mathrm{in}}\in A) e \|p_{\mathrm{out}}\|=1+\tfrac{\varepsilon}{2}>1 (logo p_{\mathrm{out}}\notin A). Assim toda bola centrada em p contém pontos de A e pontos do complemento. Portanto p é ponto de fronteira.
2) Se \|p\|<1 então p não está na fronteira.
  • Já demonstrado no Passo 4: existe uma bola B(p,\varepsilon) inteiramente contida em A; portanto essa bola não intersecta o complemento, então p não é fronteira.
    Se \|p\|>1 então também não está na fronteira, pois existe \varepsilon=\|p\|-1>0 tal que B(p,\varepsilon) fica inteiramente fora de A.
  • Conclusão: os únicos pontos que são de fronteira são aqueles com \|p\|=1. Assim a fronteira é
\partial A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^{2}+y^{2}=1\}.

Passo 6

Fechado vs. aberto: explicar o conceito de conjunto fechado e aplicar ao caso
  • Definição prática de conjunto fechado: um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos-limite (ou equivalentemente se seu complemento é aberto).
  • Observação: a fronteira \partial A é formada por pontos-limite de A (mostrado no Passo 5): para cada p com \|p\|=1 existe uma sequência de pontos de A que converge para p (por exemplo p_{n}=(1-\tfrac{1}{n})u com u=p).
  • Como esses pontos-limite (os pontos da circunferência) não pertencem a A (porque A exige \|p\|<1), concluímos que A não contém todos os seus pontos-limite; portanto A não é fechado.
    Comentário alternativo e curto: a complementar de A é \{x^{2}+y^{2}\ge 1\}, que é fechado; portanto A (complemento de um fechado) é aberto — isso confirma o que já tínhamos; mas para fechar (sem rodeios) basta dizer que A não contém a circunferência, que são pontos-limite.

Passo 7

Fecho (closure) de A e observação final sobre cerrado/aberto:
  • O fecho de A (menor conjunto fechado que contém A) é o disco fechado
\overline{A}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.
Isto porque \overline{A}=A\cup\partial A e já vimos \partial A=\{x^{2}+y^{2}=1\}.
  • Resumo: A é aberto, não é fechado.

Passo 8

Prova de que A é limitado (com explicação para a prova):
  • Definição: um conjunto S\subset\mathbb{R}^2 é limitado se existe M>0 tal que para todo p\in S tem-se \|p\|<M.
  • Para A, por definição todos os pontos satisfazem \|p\|<1. Portanto basta tomar M=1. Assim A está contido na bola fechada de raio 1 centrada na origem, logo A é limitado.
Comentário intuitivo: o disco interior cabe inteiro dentro de uma bola de raio 1.

Passo 9

Compacto? (teorema e verificação concreta)
  • Teorema de Heine–Borel (versão para \mathbb{R}^{n}): um subconjunto de \mathbb{R}^n é compacto se, e somente se, for fechado e limitado.
  • Aplicando ao caso: já mostramos que A é limitado mas não é fechado. Logo A não é compacto.
  • Demonstração alternativa por sequência (útil na prova): considere a sequência de pontos
p_{n}=\bigl(1-\tfrac{1}{n},\,0\bigr)\in A.
Essa sequência converge em \mathbb{R}^2 para p=(1,0), mas p\notin A. Se A fosse compacto toda sequência em A teria uma subsequência que converge para um ponto em A. Aqui toda subsequência converge para (1,0) (ou para um ponto da circunferência), que não pertence a A; logo falha a condição sequencial de compacidade. Portanto A não é compacto.

Passo 10

Pequenos exemplos comparativos para fixar a ideia (didático e prático):
  • O conjunto B=\{x^{2}+y^{2}\le 1\} (disco fechado) é fechado, limitado e, por Heine–Borel, compacto.
  • O conjunto C=\{x^{2}+y^{2}<1\} (nosso A) é aberto, limitado, não fechado, não compacto.
  • O conjunto D=\mathbb{R}^2 é fechado e aberto ao mesmo tempo (em \mathbb{R}^2 trivial), não limitado, portanto não compacto.

Resposta

Fronteira: \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^{2}+y^{2}=1\}
Aberto: sim.
Fechado: não.
Limitado: sim.
Compacto: não.

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