Exercício 2) Desenhe as regiões planas D, dadas abaixo, realçando no desenho sua fronteira.
D: x^2+y^2 <= 16, y <= 0;

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a região
D = (x,y)mid x^2 + y^2 <= 16,;y<= 0
e realçar sua fronteira. Aqui estamos trabalhando com conjuntos no plano cartesiano, mais precisamente a interseção de um disco fechado de raio 4 com o semiplano inferior.

Passo 2

Primeiro note que
x^2 + y^2 <= 16
é o disco fechado de centro na origem e raio 4. Em um esboço, isso equivale a um círculo de raio 4 com toda a região interna preenchida.

Passo 3

Em seguida aplicamos a condição y<= 0. Isso significa que ficamos apenas com a parte do disco que está no semiplano abaixo (ou sobre) o eixo x. Logo D é o disco cortado ao meio pela reta y=0, mantendo a parte inferior.

Passo 4

A fronteira de D é a união de:
  1. A semicircunferência inferior x^2 + y^2 = 16, y<= 0,
  2. O diâmetro correspondente y=0, -4<= x<= 4
No desenho, devemos traçar a semicircunferência com linha contínua e também o segmento de reta sobre o eixo x de -4 a 4.

Passo 5

Para montar o esboço:
  1. Desenhe o eixo x e o eixo y no plano.
  2. Marque os pontos (4,0), (-4,0) e desenhe o círculo de raio 4 centrado na origem.
  3. Trace apenas a parte do círculo que fica abaixo do eixo x (semicircunferência inferior) com contorno destacado.
  4. Trace em destaque o segmento de reta de (-4,0) a (4,0).
  5. Pinte ou sombreie a região abaixo desse contorno até a semicircunferência.

Resposta

A região D é o semicírculo fechado de raio 4 abaixo do eixo x. A fronteira é composta pela semicircunferência (x,y)mid x^2+y^2=16,;y<=0 e pelo segmento de reta (x,0)mid -4<= x<=4.

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