Exercício 1) Diga, justificando, se os subconjuntos abaixo são abertos, fechados, limitados, compactos.
e
.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos o subconjunto
dado por
O conteúdo é topologia em
, em particular as noções de aberto, fechado, limitado e compacto. Para resolver, vamos aplicar definições e o teorema de Heine–Borel.
Passo 2
Para mostrar que
é limitado, basta encontrar um raio
tal que
para todo
. Como
e
, temos
Logo,
, o que prova que
é limitado.
Passo 3
Para ver que
é fechado, note que as funções
são contínuas. Então
são conjuntos fechados em
. Como
a interseção de fechados,
é fechado.
Passo 4
Para verificar que
não é aberto, basta observar um ponto de fronteira, por exemplo
satisfazendo
. Se existisse bola aberta
, teríamos pontos com
em
mas não em
. Logo, não há bola centrada em
contida em
, e
não é aberto.
Passo 5
Pelo teorema de Heine–Borel em
, um conjunto é compacto se, e somente se, for fechado e limitado. Já mostramos que
é fechado e limitado, portanto
é compacto.