Exercício 1) Diga, justificando, se os subconjuntos abaixo são abertos, fechados, limitados, compactos.
E=(x, y, z) in R^3 / x^2+y^2 <= 4 e 0 <= z <= 4.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos o subconjunto EsubsetR^3 dado por
E=(x,y,z)inR^3mid x^2+y^2<=4,;0<= z<=4
O conteúdo é topologia em R^n, em particular as noções de aberto, fechado, limitado e compacto. Para resolver, vamos aplicar definições e o teorema de Heine–Borel.

Passo 2

Para mostrar que E é limitado, basta encontrar um raio R tal que |(x,y,z)|<= R para todo (x,y,z)in E. Como x^2+y^2<=4 e 0<= z<=4, temos
x^2+y^2+z^2<=4+4^2=20 Longrightarrow |(x,y,z)|=raizx^2+y^2+z^2<=raiz20<5
Logo, Esubset B(0,5), o que prova que E é limitado.

Passo 3

Para ver que E é fechado, note que as funções
f(x,y,z)=x^2+y^2 e g(x,y,z)=z
são contínuas. Então
f<=4=f^-1((-infty,4]) e 0<= g<=4=g^-1([0,4])
são conjuntos fechados em R^3. Como
E=f<=4,cap,0<= g<=4,
a interseção de fechados, E é fechado.

Passo 4

Para verificar que E não é aberto, basta observar um ponto de fronteira, por exemplo (2,0,1) satisfazendo x^2+y^2=4. Se existisse bola aberta B((2,0,1),de<a)subset E, teríamos pontos com x>2 em B mas não em E. Logo, não há bola centrada em (2,0,1) contida em E, e E não é aberto.

Passo 5

Pelo teorema de Heine–Borel em R^3, um conjunto é compacto se, e somente se, for fechado e limitado. Já mostramos que E é fechado e limitado, portanto E é compacto.

Resposta

E não é aberto;
E é fechado;
E é limitado;
E é compacto.

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