Exercício 3) Qual a altura d’água e a velocidade média de escoamento num canal trapezoidal, para vazões de 200 , 400 e 600 \mathrm{~L} \mathrm{~s}^{-1}. Dados: \mathrm{n}=0,035, talude =1 (horizontal): 1 (vertical), \mathrm{b}= 0,40 \mathrm{~m}, \mathrm{I}=2 \%.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a altura d’água e a velocidade média de escoamento num canal trapezoidal para três vazões. Perguntas explícitas:
Qual a altura d’água para Q=200\\ \mathrm{L\,s^{-1}}, Q=400\\ \mathrm{L\,s^{-1}} e Q=600\\ \mathrm{L\,s^{-1}}? Qual a velocidade média correspondente para cada uma dessas vazões?
Informações fornecidas (dados do enunciado):
n=0{,}035,\quad \text{talude } = 1\\ ( \text{horizontal}):1\\ (\text{vertical}),\quad b=0{,}40\\ \mathrm{m},\quad I=2\%=0{,}02.

Observação: as vazões dadas em litros por segundo serão convertidas para \mathrm{m^3\,s^{-1}} antes de aplicar as fórmulas.

Passo 2

Vamos apresentar as fórmulas usadas e explicar cada termo (aulas rápidas para você decorar e aplicar na prova).
Manning para escoamento uniforme num canal aberto (fórmula base):
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,\sqrt{S}
onde:
  • Q é a vazão ( \mathrm{m^3\,s^{-1}});
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional);
  • A é a área molhada da seção transversal ( \mathrm{m^2});
  • R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}), definido por R=\dfrac{A}{P};
  • P é o perímetro molhado ( \mathrm{m});
  • S é a declividade da linha de energia (aqui igual a I), adimensional.
Seção trapezoidal simétrica com talude m (horizontal por vertical), largura do fundo b e profundidade h:
A = h\,(b + m h)
P = b + 2h\sqrt{1+m^2}
R = \frac{A}{P}
No enunciado o talude é 1:1, logo m=1. Então:
A = h\,(b + h)
P = b + 2h\sqrt{2}
Procedimento para encontrar h dada Q: a equação de Manning é implícita em h (pois A e R dependem de h), então vamos:
  1. converter Q para \mathrm{m^3\,s^{-1}};
  2. montar a função f(h)=\dfrac{1}{n}A(h)R(h)^{2/3}\sqrt{S}-Q;
  3. achar h tal que f(h)=0 por tentativa/iteração simples (tabela + interpolação linear entre dois palpites próximos). Esse método é o que se usa quando não se pede método específico e é aceitável em prova manual.
Constante numérica útil (calculei para agilizar):
\frac{1}{n}\sqrt{S}=\frac{1}{0{,}035}\sqrt{0{,}02}\approx 4{,}0406.

Passo 3

Conversão das vazões:
Q_1=200\\ \mathrm{L\,s^{-1}}=0{,}200\\ \mathrm{m^3\,s^{-1}},
Q_2=400\\ \mathrm{L\,s^{-1}}=0{,}400\\ \mathrm{m^3\,s^{-1}},
Q_3=600\\ \mathrm{L\,s^{-1}}=0{,}600\\ \mathrm{m^3\,s^{-1}}.
Vou resolver caso a caso, mostrando os passos numéricos (palpites, cálculo de A,P,R, Q_{calc} e interpolação).

Passo 4

Definições com m=1 e b=0{,}40\\ \mathrm{m}:
A(h)=h\,(0{,}40 + h), \qquad P(h)=0{,}40 + 2h\sqrt{2}, \qquad R(h)=\frac{A(h)}{P(h)}.
A função de vazão calculada:
Q_{calc}(h)=4{,}0406\;A(h)\;[R(h)]^{2/3}.
Agora tentativas (vou mostrar 3 palpites e depois interpolar):
Palpite h=0{,}10\\ \mathrm{m}:
A=0{,}10(0{,}40+0{,}10)=0{,}05\\ \mathrm{m^2},
P=0{,}40+2\cdot0{,}10\sqrt{2}=0{,}68284\\ \mathrm{m},
R=\frac{0{,}05}{0{,}68284}=0{,}07324\\ \mathrm{m},
R^{2/3}\approx0{,}1757,\qquad Q_{calc}=4{,}0406\cdot0{,}05\cdot0{,}1757\approx0{,}0355\\ \mathrm{m^3\,s^{-1}}.
Muito abaixo de 0{,}200.
Palpite h=0{,}20\\ \mathrm{m}:
A=0{,}20(0{,}40+0{,}20)=0{,}12\\ \mathrm{m^2},
P=0{,}96569\\ \mathrm{m},\quad R=0{,}1243\\ \mathrm{m},
R^{2/3}\approx0{,}2487,\qquad Q_{calc}\approx4{,}0406\cdot0{,}12\cdot0{,}2487\approx0{,}1206\\ \mathrm{m^3\,s^{-1}}.
Ainda abaixo.
Palpite h=0{,}30\\ \mathrm{m}:
A=0{,}30(0{,}40+0{,}30)=0{,}21\\ \mathrm{m^2},
P\approx1{,}24853\\ \mathrm{m},\quad R\approx0{,}1682\\ \mathrm{m},
R^{2/3}\approx0{,}3046,\qquad Q_{calc}\approx4{,}0406\cdot0{,}21\cdot0{,}3046\approx0{,}2587\\ \mathrm{m^3\,s^{-1}}.
Agora passou de 0{,}200. Então a raiz está entre 0{,}20 e 0{,}30.
Interpolação linear entre h_1=0{,}20 (com Q_1=0{,}1206) e h_2=0{,}30 (com Q_2=0{,}2587) para achar h quando Q=0{,}200:
h \approx h_1 + \frac{Q-Q_1}{Q_2-Q_1}(h_2-h_1) =0{,}20 + \frac{0{,}200-0{,}1206}{0{,}2587-0{,}1206}\cdot0{,}10 \approx 0{,}2575\\ \mathrm{m}.
Refinando (calculei Q_{calc} em h=0{,}2575 e em h=0{,}262) obtive melhor aproximação:
h\approx0{,}262\\ \mathrm{m}.
Área correspondente:
A(0{,}262)=0{,}262(0{,}40+0{,}262)\approx0{,}17344\\ \mathrm{m^2}.
Velocidade média:
V=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}200}{0{,}17344}\approx1{,}154\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.

Passo 5

Mesmas fórmulas, tentativas:
Palpite h=0{,}35\\ \mathrm{m}:
A=0{,}35(0{,}40+0{,}35)=0{,}2625\\ \mathrm{m^2},
P\approx1{,}3899\\ \mathrm{m},\quad R\approx0{,}1889,
R^{2/3}\approx0{,}3297,\qquad Q_{calc}\approx4{,}0406\cdot0{,}2625\cdot0{,}3297\approx0{,}3500\\ \mathrm{m^3\,s^{-1}}.
Abaixo.
Palpite h=0{,}37\\ \mathrm{m}:
A\approx0{,}2849\\ \mathrm{m^2},\quad P\approx1{,}4465\\ \mathrm{m},\quad R\approx0{,}1971,
R^{2/3}\approx0{,}3388,\qquad Q_{calc}\approx0{,}3902\\ \mathrm{m^3\,s^{-1}}.
Ainda abaixo.
Palpite h=0{,}38\\ \mathrm{m}:
A\approx0{,}2964\\ \mathrm{m^2},\quad P\approx1{,}4750\\ \mathrm{m},\quad R\approx0{,}2010,
R^{2/3}\approx0{,}3437,\qquad Q_{calc}\approx0{,}4120\\ \mathrm{m^3\,s^{-1}}.
Passou de 0{,}400. Então h está entre 0{,}37 e 0{,}38.
Interpolando linearmente entre h=0{,}37 ( Q=0{,}3902) e h=0{,}38 ( Q=0{,}4120):
h\approx0{,}37+\frac{0{,}400-0{,}3902}{0{,}4120-0{,}3902}\cdot0{,}01\approx0{,}3745\\ \mathrm{m}.
Área correspondente:
A(0{,}3745)\approx0{,}29007\\ \mathrm{m^2}.
Velocidade média:
V=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}400}{0{,}29007}\approx1{,}380\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.

Passo 6

Tentativas:
Palpite h=0{,}45\\ \mathrm{m}:
A=0{,}45(0{,}40+0{,}45)=0{,}3825\\ \mathrm{m^2},
P\approx1{,}6728\\ \mathrm{m},\quad R\approx0{,}2288,
R^{2/3}\approx0{,}3737,\qquad Q_{calc}\approx4{,}0406\cdot0{,}3825\cdot0{,}3737\approx0{,}5774\\ \mathrm{m^3\,s^{-1}}.
Abaixo.
Palpite h=0{,}50\\ \mathrm{m}:
A=0{,}50(0{,}40+0{,}50)=0{,}45\\ \mathrm{m^2},
P\approx1{,}8142\\ \mathrm{m},\quad R\approx0{,}2481,
R^{2/3}\approx0{,}3940,\qquad Q_{calc}\approx4{,}0406\cdot0{,}45\cdot0{,}3940\approx0{,}7166\\ \mathrm{m^3\,s^{-1}}.
Passou de 0{,}600. Então entre 0{,}45 e 0{,}50.
Palpite intermediário h=0{,}466\\ \mathrm{m}:
A\approx0{,}4036\\ \mathrm{m^2},\quad P\approx1{,}7179\\ \mathrm{m},\quad R\approx0{,}2349,
R^{2/3}\approx0{,}3815,\qquad Q_{calc}\approx0{,}6226\\ \mathrm{m^3\,s^{-1}}.
Um pouco acima de 0{,}600.
Interpolando entre h=0{,}45 ( Q=0{,}5774) e h=0{,}466 ( Q=0{,}6226):
h\approx0{,}45+\frac{0{,}600-0{,}5774}{0{,}6226-0{,}5774}\cdot(0{,}466-0{,}45) \approx0{,}458\\ \mathrm{m}.
Refinando um pouco (calculei em h\approx0{,}459), obtive:
h\approx0{,}459\\ \mathrm{m}.
Área correspondente:
A(0{,}459)\approx0{,}39428\\ \mathrm{m^2}.
Velocidade média:
V=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}600}{0{,}39428}\approx1{,}522\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.

Resposta

Q=200\\ \mathrm{L\,s^{-1}}:\\ h\approx0{,}262\\ \mathrm{m},\\ V\approx1{,}15\\ \mathrm{m\,s^{-1}}
Q=400\\ \mathrm{L\,s^{-1}}:\\ h\approx0{,}3745\\ \mathrm{m},\\ V\approx1{,}38\\ \mathrm{m\,s^{-1}}
Q=600\\ \mathrm{L\,s^{-1}}:\\ h\approx0{,}459\\ \mathrm{m},\\ V\approx1{,}52\\ \mathrm{m\,s^{-1}}

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