Exercício 2. Determinar as coordenadas polares dos pontos cujas coordenadas cartesianas são:
(3,4).

Passo 1

O enunciado pede converter as coordenadas cartesianas (3,4) em coordenadas polares (r,\theta). Para isso, vamos usar as relações
r = \sqrt{x^2 + y^2}
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr)
sabendo que o ponto está no primeiro quadrante.

Passo 2

Calculamos o raio r aplicando a fórmula:
r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.

Passo 3

Como x=3>0 e y=4>0, o ângulo \theta fica no primeiro quadrante, e
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr).
Em valor numérico, \arctan(4/3)\approx0{,}9273 radianos (ou 53{,}13^\circ).

Passo 4

A solução geral para o ângulo inclui as voltas completas, ou seja,
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr) + 2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

As coordenadas polares são
(r,\theta) = \bigl(5,\;\arctan\!\tfrac{4}{3}\bigr) \approx(5,\,0{,}9273)
e, de forma geral,
(r,\theta) = \bigl(5,\;\arctan\!\tfrac{4}{3} + 2\pi k\bigr),\quad k\in\mathbb{Z}.

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