Mostre que pode utilizar a regra de L’Hopital para determinar os limites abaixo, em seguida determine os valores dos limites
d) \lim _{z \rightarrow \sqrt{2} i} z \frac{z^{3}+5 z^{2}+2 z+10}{z^{5}+2 z^{3}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{z\to \sqrt{2}i} z\,\frac{z^{3}+5z^{2}+2z+10}{z^{5}+2z^{3}}.
Como ao substituir z=\sqrt{2}i numerador e denominador ficam ambos zero, temos uma indeterminação \tfrac{0}{0} e, portanto, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador em relação a z.

Passo 2

Substituindo z=\sqrt{2}i no numerador
N(z)=z\,(z^{3}+5z^{2}+2z+10)
temos
(\sqrt{2}i)^3=-2\sqrt{2}i,\quad 5(\sqrt{2}i)^2=-10,\quad 2(\sqrt{2}i)=2\sqrt{2}i,
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(\sqrt{2}i)^3+5(\sqrt{2}i)^2+2(\sqrt{2}i)+10 =-2\sqrt{2}i-10+2\sqrt{2}i+10=0
e o numerador vira z\cdot0=0. No denominador
D(z)=z^5+2z^3
com z^3=-2\sqrt{2}i e z^5=4\sqrt{2}i obtemos
4\sqrt{2}i-4\sqrt{2}i=0.
Confirmamos a forma \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador:
N'(z) =(z^3+5z^2+2z+10) +z\,(3z^2+10z+2),
D'(z)=5z^4+6z^2.

Passo 4

Avaliamo em z=\sqrt{2}i. Sabemos z^2=-2, z^3=-2\sqrt{2}i, z^4=4. Então
N'(\sqrt{2}i) =0+(\sqrt{2}i)\bigl(3(-2)+10(\sqrt{2}i)+2\bigr) =(\sqrt{2}i)(-6+2+10\sqrt{2}i) =-4\sqrt{2}i+10\,i^2\,2 =-4\sqrt{2}i-20,
D'(\sqrt{2}i)=5\cdot4+6\cdot(-2)=20-12=8.

Passo 5

Pela regra de L’Hôpital,
\lim_{z\to\sqrt{2}i} z\,\frac{z^3+5z^2+2z+10}{z^5+2z^3} =\frac{N'(\sqrt{2}i)}{D'(\sqrt{2}i)} =\frac{-20-4\sqrt{2}i}{8} =-\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\,i.

Resposta

-\frac{5}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\,i

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