Exercício 2) Determinar as equações paramétricas da reta que satisfaz as seguintes condições:
Passa pela origem e é perpendicular ao plano 2 x-y+3 z-6=0;

Passo 1

O enunciado pede para determinar as equações paramétricas da reta que satisfaz as condições seguintes:
  • Passa pela origem, ou seja pelo ponto (0,0,0).
  • É perpendicular ao plano dado pela equação 2x - y + 3z - 6 = 0.
As informações relevantes fornecidas pelo enunciado são:
  • A equação do plano: 2x - y + 3z - 6 = 0.
  • Um ponto por onde a reta passa: a origem (0,0,0).
  • A condição de perpendicularidade entre a reta e o plano.

Passo 2

Entender o que significa “reta perpendicular a um plano”: quando uma reta é perpendicular a um plano, o vetor direção da reta é paralelo ao vetor normal do plano. Vou explicar o que é o vetor normal de um plano.
Dado um plano escrito na forma geral
ax + by + cz + d = 0,
os coeficientes a, b e c formam um vetor que é perpendicular ao plano. Esse vetor é chamado vetor normal do plano e é
\mathbf{n} = (a,b,c).
Aqui cada componente tem o seguinte significado:
  • a é a componente na direção x,
  • b é a componente na direção y,
  • c é a componente na direção z.
No nosso caso, o plano tem a=2, b=-1 e c=3, logo o vetor normal é \mathbf{n}=(2,-1,3).

Passo 3

Relação entre vetor normal e vetor direção da reta: como a reta é perpendicular ao plano, ela aponta na mesma direção (ou na direção oposta) do vetor normal. Portanto podemos escolher o vetor direção da reta \mathbf{v} igual ao vetor normal \mathbf{n}. Assim tomamos
\mathbf{v} = (2,-1,3).
Explicando de forma bem direta: qualquer reta perpendicular ao plano deve ter direção paralela a (2,-1,3); escolher esse vetor facilita muito a escrita da reta.

Passo 4

Recordando a forma paramétrica de uma reta em \mathbb{R}^3: se uma reta passa por um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) e tem vetor direção \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z), então suas equações paramétricas são
x = x_0 + t\,v_x,\qquad y = y_0 + t\,v_y,\qquad z = z_0 + t\,v_z,
onde t é o parâmetro real. Aqui:
  • t varia em \mathbb{R};
  • x_0,y_0,z_0 são as coordenadas de um ponto conhecido da reta;
  • v_x,v_y,v_z são as componentes do vetor direção.

Passo 5

Aplicando ao nosso caso:
  • O ponto P_0 é a origem, então x_0=0, y_0=0, z_0=0.
  • O vetor direção \mathbf{v} tem componentes v_x=2, v_y=-1, v_z=3.
Substituindo na forma paramétrica obtemos
x = 0 + t\cdot 2 = 2t,
y = 0 + t\cdot(-1) = -t,
z = 0 + t\cdot 3 = 3t.

Passo 6

Escrevendo de forma compacta, as equações paramétricas da reta são
x = 2t,\qquad y = -t,\qquad z = 3t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Também é comum escrever em forma vetorial:
\mathbf{r}(t) = t\,(2,-1,3).
Ambas as representações descrevem a mesma reta que passa pela origem e é perpendicular ao plano dado.

Resposta

x=2t
y=-t
z=3t

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