Exercício 2) Determinar as equações paramétricas da reta que satisfaz as seguintes condições:
Passa pela origem e é perpendicular ao plano
;
Passa pela origem e é perpendicular ao plano
Passo 1
O enunciado pede para determinar as equações paramétricas da reta que satisfaz as condições seguintes:
- Passa pela origem, ou seja pelo ponto
. - É perpendicular ao plano dado pela equação
.
As informações relevantes fornecidas pelo enunciado são:
- A equação do plano:
. - Um ponto por onde a reta passa: a origem
. - A condição de perpendicularidade entre a reta e o plano.
Passo 2
Entender o que significa “reta perpendicular a um plano”: quando uma reta é perpendicular a um plano, o vetor direção da reta é paralelo ao vetor normal do plano. Vou explicar o que é o vetor normal de um plano.
Dado um plano escrito na forma geral
os coeficientes
,
e
formam um vetor que é perpendicular ao plano. Esse vetor é chamado vetor normal do plano e é
Aqui cada componente tem o seguinte significado:
-
é a componente na direção , -
é a componente na direção , -
é a componente na direção .
No nosso caso, o plano tem
,
e
, logo o vetor normal é
.
Passo 3
Relação entre vetor normal e vetor direção da reta: como a reta é perpendicular ao plano, ela aponta na mesma direção (ou na direção oposta) do vetor normal. Portanto podemos escolher o vetor direção da reta
igual ao vetor normal
. Assim tomamos
Explicando de forma bem direta: qualquer reta perpendicular ao plano deve ter direção paralela a
; escolher esse vetor facilita muito a escrita da reta.
Passo 4
Recordando a forma paramétrica de uma reta em
: se uma reta passa por um ponto
e tem vetor direção
, então suas equações paramétricas são
onde
é o parâmetro real. Aqui:
-
varia em ; -
são as coordenadas de um ponto conhecido da reta; -
são as componentes do vetor direção.
Passo 5
Aplicando ao nosso caso:
- O ponto
é a origem, então , , . - O vetor direção
tem componentes , , .
Substituindo na forma paramétrica obtemos
Passo 6
Escrevendo de forma compacta, as equações paramétricas da reta são
Também é comum escrever em forma vetorial:
Ambas as representações descrevem a mesma reta que passa pela origem e é perpendicular ao plano dado.