Questão 1. Qual é a equação da reta que contém o ponto (3,1,-1) e é paralela à reta r : \frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{5}=\frac{-3+z}{-2} ?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Encontrar a equação da reta que passa pelo ponto (3,1,-1) e é paralela à reta r dada por \dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+2}{5}=\dfrac{-3+z}{-2}.
Informações fornecidas pelo enunciado (peguei estes valores do enunciado / da imagem):
  • Ponto por onde a reta procurada passa: (3,1,-1).
  • Equação da reta r: \dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y+2}{5}=\dfrac{-3+z}{-2}.
O objetivo é escrever a equação da reta buscada (pode ser em forma vetorial, paramétrica ou simétrica), sabendo que ela deve ser paralela à reta r.

Passo 2

Entendendo a forma simétrica de uma reta no espaço e como extrair ponto e vetor diretor.
Regra prática: se a reta está na forma
\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c},
então:
  • um ponto que pertence à reta é (x_0,y_0,z_0);
  • um vetor diretor da reta é \langle a,b,c\rangle.
Por que isso funciona (explicando passo a passo, sem pular etapas):
  • Introduzimos um parâmetro t e igualamos cada fração a t: \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}=t.
  • Daí obtemos as equações paramétricas: x = x_0 + a t,\qquad y = y_0 + b t,\qquad z = z_0 + c t.
  • Essas equações mostram que, quando t varia, o vetor posição (x,y,z) se escreve como o vetor posição inicial (x_0,y_0,z_0) mais t vezes o vetor \langle a,b,c\rangle. Logo \langle a,b,c\rangle é o vetor diretor.
Também: duas retas são paralelas quando seus vetores diretores são múltiplos escalares um do outro. Aqui basta copiar o mesmo vetor diretor para a reta pedida (já que é paralela).

Passo 3

Aplicando a regra à reta r.
A reta r foi dada por
\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{5}=\frac{-3+z}{-2}.
Observe que -3+z é a mesma expressão que z-3. Portanto a forma é compatível com o padrão \dfrac{z-z_0}{c} com z_0=3 e c=-2.
Assim, da reta r obtemos:
  • ponto pertencente à r: (1,-2,3) (peguei isso da equação simétrica dada);
  • vetor diretor de r: \langle 3,5,-2\rangle (os denominadores formam as componentes do vetor diretor).

Passo 4

Construindo a reta que passa por [P_0=(3,1,-1)) e é paralela a r.
Como a reta procurada é paralela a r, ela tem o mesmo vetor diretor \langle 3,5,-2\rangle. Para escrever a equação vetorial paramétrica, tomamos um parâmetro t e escrevemos a posição como ponto inicial mais t vezes o vetor diretor:
Forma vetorial / paramétrica:
\begin{cases} x = 3 + 3t,\\[4pt] y = 1 + 5t,\\[4pt] z = -1 - 2t, \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}.
Explicando: quando t=0\] obtenho o ponto \((3,1,-1); ao variar t sigo a direção \langle 3,5,-2\rangle.]

Passo 5

Escrevendo também em forma simétrica (se as componentes do vetor diretor não forem zero):
A partir das paramétricas, isolando t em cada uma:
\frac{x-3}{3}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+1}{-2}.
Observação: pode-se multiplicar numerador e denominador por -1 na última fração para escrever \dfrac{z+1}{-2}=\dfrac{-(z+1)}{2}=\dfrac{-(z+1)}{2}, mas a forma \dfrac{z+1}{-2} é totalmente correta e consistente com a forma simétrica padrão.

Resposta

Forma vetorial / paramétrica:
\begin{cases} x = 3 + 3t,\\[4pt] y = 1 + 5t,\\[4pt] z = -1 - 2t, \end{cases}\\ t\in\mathbb{R}.
Forma simétrica:
\frac{x-3}{3}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+1}{-2}.]

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