Questão 5. Qual a equaçāo do plano determinado pelos pontos A(-2,3,-0), B(2,-2,1) e C(3,1,-3) ?

Passo 1

O enunciado fornece três pontos e pede a equação do plano determinado por eles. Os dados são:
  • A(-2,\,3,\, -0) (note que -0=0, então A(-2,\,3,\,0));
  • B(2,\,-2,\,1);
  • C(3,\,1,\,-3).
O que se pede: encontrar a equação do plano que passa por A, B e C.

Passo 2

Primeiro passo prático: formar dois vetores que vão de um ponto escolhido (por exemplo A) aos outros dois pontos. Esses vetores ficam dentro do plano e servem para encontrar a direção do plano.
A forma de obter o vetor entre dois pontos P(x_1,y_1,z_1) e Q(x_2,y_2,z_2) é subtrair coordenadas: \overrightarrow{PQ}= (x_2-x_1,\; y_2-y_1,\; z_2-z_1).
Aplicando isso:
\overrightarrow{AB} = B - A = (2-(-2),\; -2-3,\; 1-0) = (4,\; -5,\; 1).
\overrightarrow{AC} = C - A = (3-(-2),\; 1-3,\; -3-0) = (5,\; -2,\; -3).
Esses vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} estão contidos no plano.

Passo 3

Para escrever a equação do plano precisamos de um vetor normal ao plano, isto é, um vetor perpendicular a qualquer vetor do plano. O produto vetorial (cross product) de dois vetores do plano dá exatamente um vetor normal.
O produto vetorial \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v} para \overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3) e \overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3) é
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v} = \bigl(u_2 v_3 - u_3 v_2,\; -(u_1 v_3 - u_3 v_1),\; u_1 v_2 - u_2 v_1\bigr).
Isso fornece as componentes do vetor perpendicular.
Aplicando a \overrightarrow{AB}=(4,-5,1) e \overrightarrow{AC}=(5,-2,-3):
\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \bigl((-5)(-3)-1(-2),\; -(4(-3)-1\cdot5),\; 4(-2)-(-5)5\bigr).
Calculemos cada componente cuidadosamente:
\begin{aligned} n_x &= (-5)(-3)-1(-2)=15-(-2)=17,\\[4pt] n_y &= -(4(-3)-1\cdot5)= -(-12-5)= -(-17)=17,\\[4pt] n_z &= 4(-2)-(-5)5 = -8-(-25)=17. \end{aligned}
Logo \overrightarrow{n}=(17,\,17,\,17).
Observação útil: qualquer múltiplo escalar de um vetor normal também é normal. Podemos dividir por 17 para simplificar e obter um vetor normal mais simples \overrightarrow{n_0}=(1,\,1,\,1).]

Passo 4

Agora usamos a forma ponto-normal do plano. Se \overrightarrow{n}=(a,b,c) é normal e P_0(x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano, a equação do plano é
\overrightarrow{n}\cdot\bigl((x,y,z)-P_0\bigr)=0,
ou seja
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Aqui podemos usar o vetor normal simplificado \overrightarrow{n_0}=(1,1,1) e o ponto A(-2,3,0). Substituindo:
1\cdot\bigl(x-(-2)\bigr)+1\cdot\bigl(y-3\bigr)+1\cdot\bigl(z-0\bigr)=0.
Simplificando:
(x+2)+(y-3)+z=0.
Juntando termos:
x+y+z-1=0,
ou equivalentemente
x+y+z=1.

Passo 5

Verificação rápida (boa prática): substituir B e C na equação para confirmar que ambos satisfazem a igualdade.
Para B(2,-2,1):
2 + (-2) + 1 = 1,
ok.
Para C(3,1,-3):
3 + 1 + (-3) = 1,
ok.
Portanto a equação encontrada está correta.

Resposta

x+y+z=1

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