Questão 5. Qual a equaçāo do plano determinado pelos pontos A(-2,3,-0), B(2,-2,1) e C(3,1,-3) ?
Passo 1
O enunciado fornece três pontos e pede a equação do plano determinado por eles. Os dados são:
A(-2,\,3,\, -0) (note que -0=0, então A(-2,\,3,\,0));
B(2,\,-2,\,1);
C(3,\,1,\,-3).
O que se pede: encontrar a equação do plano que passa por A, B e C.
Passo 2
Primeiro passo prático: formar dois vetores que vão de um ponto escolhido (por exemplo A) aos outros dois pontos. Esses vetores ficam dentro do plano e servem para encontrar a direção do plano.
A forma de obter o vetor entre dois pontos P(x_1,y_1,z_1) e Q(x_2,y_2,z_2) é subtrair coordenadas: \overrightarrow{PQ}= (x_2-x_1,\; y_2-y_1,\; z_2-z_1).
Aplicando isso:
\overrightarrow{AB} = B - A = (2-(-2),\; -2-3,\; 1-0) = (4,\; -5,\; 1).
\overrightarrow{AC} = C - A = (3-(-2),\; 1-3,\; -3-0) = (5,\; -2,\; -3).
Esses vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} estão contidos no plano.
Passo 3
Para escrever a equação do plano precisamos de um vetor normal ao plano, isto é, um vetor perpendicular a qualquer vetor do plano. O produto vetorial (cross product) de dois vetores do plano dá exatamente um vetor normal.
O produto vetorial \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v} para \overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3) e \overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3) é
Observação útil: qualquer múltiplo escalar de um vetor normal também é normal. Podemos dividir por 17 para simplificar e obter um vetor normal mais simples \overrightarrow{n_0}=(1,\,1,\,1).]
Passo 4
Agora usamos a forma ponto-normal do plano. Se \overrightarrow{n}=(a,b,c) é normal e P_0(x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano, a equação do plano é
\overrightarrow{n}\cdot\bigl((x,y,z)-P_0\bigr)=0,
ou seja
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Aqui podemos usar o vetor normal simplificado \overrightarrow{n_0}=(1,1,1) e o ponto A(-2,3,0). Substituindo: