Exercício 4) Determinar as equações paramétricas das retas interseções dos seguintes planos: 3 x-2 y+z-2=0 e 3 x+4 y+z+1=0;
Passo 1
O enunciado dá dois planos e pede as equações paramétricas da reta de interseção entre eles. As informações fornecidas são:
Plano 1: 3x-2y+z-2=0.
Plano 2: 3x+4y+z+1=0.
Pergunta: determinar as equações paramétricas da reta interseção desses dois planos.
Passo 2
Ideia geral (explicação didática do conceito que vamos usar). Quando duas superfícies planas (planos) não são paralelas nem coincidentes, a interseção entre elas é uma reta. Para determinar a reta precisamos de:
um vetor direção da reta (um vetor paralelo à reta), e
um ponto qualquer que pertença à reta.
Como achar o vetor direção: cada plano tem um vetor normal (o vetor de coeficientes de x,y,z na equação). A reta de interseção é perpendicular a ambos os vetores normais; portanto o vetor direção da reta pode ser obtido pelo produto vetorial (cross product) dos dois vetores normais. Vou explicar e aplicar isso com calma.
Passo 3
Identificar os vetores normais dos planos (pegando-os das equações dadas):
Para 3x-2y+z-2=0 o vetor normal é \mathbf{n}_1=(3,-2,1).
Para 3x+4y+z+1=0 o vetor normal é \mathbf{n}_2=(3,4,1).
Explicando: o vetor normal de um plano dado por ax+by+cz+d=0 é (a,b,c), porque esse vetor é perpendicular a qualquer vetor que esteja contido no plano.
Passo 4
Calcular o produto vetorial \mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2 para obter o vetor direção da reta. O produto vetorial em coordenadas é calculado por determinante:
Podemos usar o vetor direção mais simples \mathbf{d}=(-1,0,3) (qualquer múltiplo não-nulo serve como direção).
Explicando: o vetor direção não precisa ser único; multiplicar por escalar muda só o comprimento, não a direção.
Passo 6
Agora precisamos de um ponto que satisfaça simultaneamente as duas equações dos planos (um ponto da reta). Uma estratégia prática: fixar um valor para uma das variáveis e resolver as duas equações para as outras duas variáveis. Vou escolher [,z=0) porque costuma simplificar.
Substituindo z=0 nas equações dadas:
Da primeira equação: 3x-2y+0-2=0, ou seja \,3x-2y=2.
Da segunda equação: 3x+4y+0+1=0, ou seja \,3x+4y=-1.
Subtraindo a primeira equação da segunda (para eliminar 3x\]):
\[(3x+4y)-(3x-2y) = -1 - 2 \quad\Rightarrow\quad 6y = -3.\]
Logo \(\,y = \dfrac{-3}{6} = -\dfrac{1}{2}.
Substituindo y=-\dfrac{1}{2} na primeira equação 3x-2y=2:
Explicando: t é o parâmetro. Quando t varia pelo conjunto dos reais, o triplo (x,y,z) percorre toda a reta. Observe que y é constante igual a -\tfrac{1}{2} porque a componente y do vetor direção é zero.
Passo 8
Verificação rápida (opcional, só para garantir que não houve erro):
Verificar que o ponto P\bigl(\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{2},0\bigr) satisfaz as duas equações dos planos (substituir e checar ambas igualdades).
Verificar que o vetor direção \mathbf{d}=(-1,0,3) é perpendicular aos dois normais multiplicando por produto escalar: \mathbf{d}\cdot\mathbf{n}_1 = -1\cdot 3 + 0\cdot(-2) + 3\cdot 1 = -3 + 0 + 3 = 0, e \mathbf{d}\cdot\mathbf{n}_2 = -1\cdot 3 + 0\cdot 4 + 3\cdot 1 = -3 + 0 + 3 = 0. Ambos nulos, então \mathbf{d} está no plano de interseção, consistência verificada.