Exercício 4) Determinar as equações paramétricas das retas interseções dos seguintes planos:
3 x-2 y+z-2=0 e 3 x+4 y+z+1=0;

Passo 1

O enunciado dá dois planos e pede as equações paramétricas da reta de interseção entre eles. As informações fornecidas são:
  • Plano 1: 3x-2y+z-2=0.
  • Plano 2: 3x+4y+z+1=0.
Pergunta: determinar as equações paramétricas da reta interseção desses dois planos.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática do conceito que vamos usar). Quando duas superfícies planas (planos) não são paralelas nem coincidentes, a interseção entre elas é uma reta. Para determinar a reta precisamos de:
  • um vetor direção da reta (um vetor paralelo à reta), e
  • um ponto qualquer que pertença à reta.
Como achar o vetor direção: cada plano tem um vetor normal (o vetor de coeficientes de x,y,z na equação). A reta de interseção é perpendicular a ambos os vetores normais; portanto o vetor direção da reta pode ser obtido pelo produto vetorial (cross product) dos dois vetores normais. Vou explicar e aplicar isso com calma.

Passo 3

Identificar os vetores normais dos planos (pegando-os das equações dadas):
  • Para 3x-2y+z-2=0 o vetor normal é \mathbf{n}_1=(3,-2,1).
  • Para 3x+4y+z+1=0 o vetor normal é \mathbf{n}_2=(3,4,1).
Explicando: o vetor normal de um plano dado por ax+by+cz+d=0 é (a,b,c), porque esse vetor é perpendicular a qualquer vetor que esteja contido no plano.

Passo 4

Calcular o produto vetorial \mathbf{v}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2 para obter o vetor direção da reta. O produto vetorial em coordenadas é calculado por determinante:
\mathbf{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 3 & -2 & 1 \\\\ 3 & 4 & 1 \end{vmatrix}.
Expandindo componente a componente (vou mostrar cada conta):
  • Componente em \mathbf{i}: (-2)\cdot 1 - 1\cdot 4 = -2 - 4 = -6.
  • Componente em \mathbf{j}: 3\cdot 1 - 1\cdot 3 = 3 - 3 = 0, mas lembrar que o sinal do termo central muda, então é -0=0.
  • Componente em \mathbf{k}: 3\cdot 4 - (-2)\cdot 3 = 12 - (-6) = 12 + 6 = 18.
Portanto
\mathbf{v}=(-6,0,18).

Passo 5

Simplificar o vetor direção, dividindo por um fator comum (para ficar mais simples). Os componentes têm divisor comum 6, então
\mathbf{v}=\bigl(-6,0,18\bigr)=6\bigl(-1,0,3\bigr).
Podemos usar o vetor direção mais simples \mathbf{d}=(-1,0,3) (qualquer múltiplo não-nulo serve como direção).
Explicando: o vetor direção não precisa ser único; multiplicar por escalar muda só o comprimento, não a direção.

Passo 6

Agora precisamos de um ponto que satisfaça simultaneamente as duas equações dos planos (um ponto da reta). Uma estratégia prática: fixar um valor para uma das variáveis e resolver as duas equações para as outras duas variáveis. Vou escolher [,z=0) porque costuma simplificar.
Substituindo z=0 nas equações dadas:
  • Da primeira equação: 3x-2y+0-2=0, ou seja \,3x-2y=2.
  • Da segunda equação: 3x+4y+0+1=0, ou seja \,3x+4y=-1.
Agora resolvemos o sistema linear em x e y:
\begin{cases} 3x-2y=2,\\[4pt] 3x+4y=-1. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda (para eliminar 3x\]): \[(3x+4y)-(3x-2y) = -1 - 2 \quad\Rightarrow\quad 6y = -3.\] Logo \(\,y = \dfrac{-3}{6} = -\dfrac{1}{2}.
Substituindo y=-\dfrac{1}{2} na primeira equação 3x-2y=2:
3x - 2\Bigl(-\dfrac{1}{2}\Bigr) = 2 \quad\Rightarrow\quad 3x +1 = 2 \quad\Rightarrow\quad 3x = 1.
Logo \,x = \dfrac{1}{3}.
Assim encontramos o ponto \,P\bigl(\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{2},0\bigr) que pertence à interseção dos dois planos (ou seja, pertence à reta procurada).]

Passo 7

Montar a equação vetorial da reta: se P é um ponto da reta e \mathbf{d} é um vetor direção, então a forma vetorial é
(x,y,z)=\Bigl(\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{2},0\Bigr)+t\bigl(-1,0,3\bigr),\quad t\in\mathbb{R}.
Isto dá as equações paramétricas (separando por coordenadas):
x=\tfrac{1}{3}-t, \qquad y=-\tfrac{1}{2}, \qquad z=3t, \qquad t\in\mathbb{R}.
Explicando: t é o parâmetro. Quando t varia pelo conjunto dos reais, o triplo (x,y,z) percorre toda a reta. Observe que y é constante igual a -\tfrac{1}{2} porque a componente y do vetor direção é zero.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, só para garantir que não houve erro):
  • Verificar que o ponto P\bigl(\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{2},0\bigr) satisfaz as duas equações dos planos (substituir e checar ambas igualdades).
  • Verificar que o vetor direção \mathbf{d}=(-1,0,3) é perpendicular aos dois normais multiplicando por produto escalar: \mathbf{d}\cdot\mathbf{n}_1 = -1\cdot 3 + 0\cdot(-2) + 3\cdot 1 = -3 + 0 + 3 = 0, e \mathbf{d}\cdot\mathbf{n}_2 = -1\cdot 3 + 0\cdot 4 + 3\cdot 1 = -3 + 0 + 3 = 0. Ambos nulos, então \mathbf{d} está no plano de interseção, consistência verificada.

Resposta

x=\dfrac{1}{3}-t,\; y=-\dfrac{1}{2},\; z=3t,\; t\in\mathbb{R}

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