Exercício 7. Encontrar a e b sabendo que o gráfico de
passa pelo ponto
e tem um ponto de inflexão em (
).
Passo 1
O enunciado dá a função
com dois fatos importantes:
- O gráfico passa pelo ponto
. Isso significa que . - O gráfico tem um ponto de inflexão em
. Isso significa que o ponto com abscissa é um ponto de inflexão da curva de .
O que o exercício pede é encontrar os valores dos coeficientese que satisfazem essas duas condições.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa ter um ponto de inflexão e como usar isso aqui (explicação didática, passo a passo).
- A primeira derivada
indica a inclinação da curva em cada ponto. - A segunda derivada
indica a concavidade: se a curva é côncava para cima, se é côncava para baixo. - Um ponto de inflexão é um ponto onde a concavidade muda de sinal. Uma condição necessária (e aqui suficiente) para um ponto de inflexão é que a segunda derivada seja zero naquele ponto:
. Para polinômios (funções suaves) essa condição é prática e segura; no caso de um polinômio cúbico, é linear, então zerar numa abscissa garante a mudança de concavidade ao redor (não precisamos complicar com casos patológicos).
Agora compute as derivadas de: - A primeira derivada é a regra de potência: derivada de
é . Logo
- A segunda derivada é a derivada de
:
Passo 3
A condição de ponto de inflexão na abscissa
implica
. Substituímos na expressão de
:
Calcule o produto
:
Portanto a equação fica
Dividindo por
(passo simples de álgebra) obtemos a primeira relação entre
e
:
Passo 4
Agora use a condição de que o gráfico passa por
, ou seja
. Substitua
em
:
Impondo
obtemos a segunda equação:
Passo 5
Agora resolvemos o sistema linear formado pelas duas equações que encontramos:
Uma maneira direta é somar as duas equações para eliminar
:
Logo
Substitua
em
para encontrar
:
Passo 6
Fazemos uma verificação rápida (boa prática na prova):
- Verificar ponto de inflexão: compute
. OK. - Verificar passagem por
: compute . OK.
As soluções satisfazem ambas as condições.