Exercício 7. Encontrar a e b sabendo que o gráfico de f(x)=a x^{3}+b x^{2} passa pelo ponto (-1,1) e tem um ponto de inflexão em ( \frac{1}{3}, f\left(\frac{1}{3}\right) ).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=a x^{3}+b x^{2} com dois fatos importantes:
  1. O gráfico passa pelo ponto (-1,1). Isso significa que f(-1)=1.
  2. O gráfico tem um ponto de inflexão em \left(\tfrac{1}{3},\,f\!\left(\tfrac{1}{3}\right)\right). Isso significa que o ponto com abscissa x=\tfrac{1}{3} é um ponto de inflexão da curva de f.
    O que o exercício pede é encontrar os valores dos coeficientes a e b que satisfazem essas duas condições.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa ter um ponto de inflexão e como usar isso aqui (explicação didática, passo a passo).
  • A primeira derivada f'(x) indica a inclinação da curva em cada ponto.
  • A segunda derivada f''(x) indica a concavidade: se f''(x)>0 a curva é côncava para cima, se f''(x)<0 é côncava para baixo.
  • Um ponto de inflexão é um ponto onde a concavidade muda de sinal. Uma condição necessária (e aqui suficiente) para um ponto de inflexão é que a segunda derivada seja zero naquele ponto: f''(x)=0. Para polinômios (funções suaves) essa condição é prática e segura; no caso de um polinômio cúbico, f'' é linear, então zerar f'' numa abscissa garante a mudança de concavidade ao redor (não precisamos complicar com casos patológicos).
    Agora compute as derivadas de f(x)=a x^{3}+b x^{2}:
  • A primeira derivada é a regra de potência: derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Logo
f'(x)=3a x^{2}+2b x.
  • A segunda derivada é a derivada de f'(x):
f''(x)=6a x+2b.

Passo 3

A condição de ponto de inflexão na abscissa x=\tfrac{1}{3} implica f''\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=0. Substituímos na expressão de f'':
f''\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=6a\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)+2b=0.
Calcule o produto 6a\cdot\tfrac{1}{3}:
6a\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)=2a.
Portanto a equação fica
2a+2b=0.
Dividindo por 2 (passo simples de álgebra) obtemos a primeira relação entre a e b:
a+b=0.

Passo 4

Agora use a condição de que o gráfico passa por (-1,1), ou seja f(-1)=1. Substitua x=-1 em f(x)=a x^{3}+b x^{2}:
f(-1)=a(-1)^{3}+b(-1)^{2}=-a+b.
Impondo f(-1)=1 obtemos a segunda equação:
-a+b=1.

Passo 5

Agora resolvemos o sistema linear formado pelas duas equações que encontramos:
\begin{cases} a+b=0,\\[4pt] -a+b=1. \end{cases}
Uma maneira direta é somar as duas equações para eliminar a:
(a+b)+(-a+b)=0+1 \quad\Longrightarrow\quad 2b=1.
Logo
b=\tfrac{1}{2}.
Substitua b=\tfrac{1}{2} em a+b=0 para encontrar a:
a+\tfrac{1}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad a=-\tfrac{1}{2}.]

Passo 6

Fazemos uma verificação rápida (boa prática na prova):
  • Verificar ponto de inflexão: compute f''\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=6a\cdot\tfrac{1}{3}+2b=6\left(-\tfrac{1}{2}\right)\tfrac{1}{3}+2\cdot\tfrac{1}{2}=-1+1=0. OK.
  • Verificar passagem por (-1,1): compute f(-1)=-a+b=-\left(-\tfrac{1}{2}\right)+\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1. OK.
    As soluções satisfazem ambas as condições.

Resposta

a=-\tfrac{1}{2}\
b=\tfrac{1}{2}

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