Exercício 3 - Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica.
\sqrt{x^{2}-8 x+30}>-2

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
  • Dado: a desigualdade \sqrt{x^{2}-8x+30} > -2.
  • O que se pede: determinar todos os intervalos de números reais que satisfazem essa desigualdade e fazer a representação gráfica (ou seja, indicar no eixo real os pontos que fazem a desigualdade ser verdadeira).
  • Informação importante a notar: há uma raiz quadrada \sqrt{\cdot}, então só faz sentido falar da expressão para valores de x em que o radicando x^{2}-8x+30 é maior ou igual a zero (domínio da expressão).

Passo 2

Entender a propriedade fundamental da raiz quadrada que vamos usar.
  • A função raiz quadrada principal \sqrt{y} está definida para y\ge 0 e seus valores são sempre não negativos: isto é, para todo y no domínio vale \sqrt{y}\ge 0.
  • Consequência prática (dica útil para a prova): se tivermos uma desigualdade \sqrt{A} > B e B<0, então a desigualdade é verdadeira sempre que \sqrt{A} estiver definida (porque \sqrt{A}\ge 0 > B). Só precisamos então do domínio A\ge 0.
  • Se, por outro lado, B\ge 0, aí não dá para concluir direto; normalmente então impõe-se A\ge 0 e depois (se B\ge0) podemos elevar ao quadrado os dois lados para resolver \sqrt{A}>B porque ambos os lados são não negativos.
No nosso caso o lado direito é -2, que é negativo. Então vamos primeiro achar o domínio (valores de x que tornam o radicando \ge 0).

Passo 3

Determinar o domínio: resolver x^{2}-8x+30 \ge 0.
  • Vamos analisar o polinômio quadrático p(x)=x^{2}-8x+30.
  • Calcular o discriminante \Delta da quadrática (fórmula \Delta=b^{2}-4ac, onde para ax^{2}+bx+c temos a=1, b=-8, c=30):
\Delta = (-8)^{2}-4\cdot1\cdot30 = 64-120 = -56.
  • Como \Delta<0, a quadrática não possui raízes reais. Como o coeficiente líder a=1 é positivo, a parábola está voltada para cima e, portanto, p(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}.
  • Conclusão sobre domínio: x^{2}-8x+30>0 para todo x, logo a expressão \sqrt{x^{2}-8x+30} está definida para todo x\in\mathbb{R}. Em outras palavras, o domínio é \mathbb{R}.

Passo 4

Aplicar a observação sobre \sqrt{\cdot} e a desigualdade com o lado direito negativo.
  • Já que a raiz quadrada principal sempre produz valores \ge 0, para todo x do domínio temos
\sqrt{x^{2}-8x+30}\ge 0.
  • O lado direito da desigualdade é -2, que é negativo: -2<0.
  • Portanto, para qualquer x no domínio vale \sqrt{x^{2}-8x+30}\ge 0 > -2. Assim a desigualdade \sqrt{x^{2}-8x+30} > -2 é satisfeita para todo x do domínio.

Passo 5

Juntando tudo: domínio = todo \mathbb{R} e a desigualdade é verdadeira para qualquer x do domínio. Logo a solução é todo o conjunto dos números reais.
(Dica prática para a prova: ao ver \sqrt{\cdot} > algo, verifique primeiro se o lado direito é negativo. Se for negativo, a solução é simplesmente o domínio da raiz. Se o lado direito for \ge 0, então impõe-se o domínio e procede-se elevando ao quadrado com cuidado.)

Passo 6

Representação gráfica (descrição da solução no eixo real).
  • A solução ocupa toda a reta real. Em notação de intervalos: \;(-\infty,\infty).
  • Interpretação gráfica: a reta numérica inteira está preenchida (todos os pontos da reta real satisfazem a desigualdade).

Resposta

(- \infty,\infty)

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