Exercício 3 - Determinar todos os intervalos de números que satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráfica.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
- Dado: a desigualdade
. - O que se pede: determinar todos os intervalos de números reais que satisfazem essa desigualdade e fazer a representação gráfica (ou seja, indicar no eixo real os pontos que fazem a desigualdade ser verdadeira).
- Informação importante a notar: há uma raiz quadrada
, então só faz sentido falar da expressão para valores de em que o radicando é maior ou igual a zero (domínio da expressão).
Passo 2
Entender a propriedade fundamental da raiz quadrada que vamos usar.
- A função raiz quadrada principal
está definida para e seus valores são sempre não negativos: isto é, para todo no domínio vale . - Consequência prática (dica útil para a prova): se tivermos uma desigualdade
e , então a desigualdade é verdadeira sempre que estiver definida (porque ). Só precisamos então do domínio . - Se, por outro lado,
, aí não dá para concluir direto; normalmente então impõe-se e depois (se ) podemos elevar ao quadrado os dois lados para resolver porque ambos os lados são não negativos.
No nosso caso o lado direito é
, que é negativo. Então vamos primeiro achar o domínio (valores de
que tornam o radicando
).
Passo 3
Determinar o domínio: resolver
.
- Vamos analisar o polinômio quadrático
. - Calcular o discriminante
da quadrática (fórmula , onde para temos , , ):
- Como
, a quadrática não possui raízes reais. Como o coeficiente líder é positivo, a parábola está voltada para cima e, portanto, para todo . - Conclusão sobre domínio:
para todo , logo a expressão está definida para todo . Em outras palavras, o domínio é .
Passo 4
Aplicar a observação sobre
e a desigualdade com o lado direito negativo.
- Já que a raiz quadrada principal sempre produz valores
, para todo do domínio temos
- O lado direito da desigualdade é
, que é negativo: . - Portanto, para qualquer
no domínio vale . Assim a desigualdade é satisfeita para todo do domínio.
Passo 5
Juntando tudo: domínio = todo
e a desigualdade é verdadeira para qualquer
do domínio. Logo a solução é todo o conjunto dos números reais.
(Dica prática para a prova: ao ver
algo, verifique primeiro se o lado direito é negativo. Se for negativo, a solução é simplesmente o domínio da raiz. Se o lado direito for
, então impõe-se o domínio e procede-se elevando ao quadrado com cuidado.)
Passo 6
Representação gráfica (descrição da solução no eixo real).
- A solução ocupa toda a reta real. Em notação de intervalos:
. - Interpretação gráfica: a reta numérica inteira está preenchida (todos os pontos da reta real satisfazem a desigualdade).