Para uma força P medida em kN, as componentes de tensão em um ponto de uma estrutura são sigmax x=10 P MPa, sigmay y=-20 P MPa e taux y=5 P MPa (estado plano de tensões). O material possui tensão de escoamento igual a 160 MPa . Determine o valor máximo da força P de modo que não haja falha segundo os critérios:
a) da máxima tensão de cisalhamento (Tresca).
b) da máxima energia de deformação (von Mises).

Passo 1

A questão apresenta um estado plano de tensões com σₓₓ = 10 P MPa, σᵧᵧ = –20 P MPa e τₓᵧ = 5 P MPa, e pede o valor máximo de P (em kN) que não provoca escoamento segundo os critérios de Tresca e de von Mises. O material tem tensão de escoamento Sy = 160 MPa. Vamos precisar calcular as tensões principais e depois aplicar cada critério de escoamento.

Passo 2

Para achar as tensões principais σ₁ e σ₂, uso as fórmulas da circunferência de Mohr. Primeiro calculo a tensão média e o raio R:
σmédio = σxx + σyy2 = 10P + ( -20P )2 = -5P (MPa)é
R = raizl(σxx - σyy2r)^2 + τxy^2 = raiz(15P)^2 + (5P)^2 = 5raiz10,P (MPa)
Então
σ1 = σmédio + R = -5P + 5raiz10,P = (5raiz10 -5)Pé
σ2 = σmédio - R = -5P - 5raiz10,P = -(5raiz10 +5)Pé

Passo 3

Para o critério de Tresca (máxima tensão de cisalhamento), o escoamento ocorre quando a maior tensão de cisalhamento vale Sy/2. No plano principal essa tensão é R, então:
R = Sy2 Longrightarrow 5raiz10,P = 80 P = 805raiz10 = 16raiz10 approx 5,06,kN

Passo 4

No critério de von Mises (máxima energia de distorção), a tensão equivalente no estado plano é
σvm = raizσxx^2 - σxxσyy + σyy^2 + 3,τxy^2
Substituindo σₓₓ = 10P, σᵧᵧ = –20P e τₓᵧ = 5P:
σvm = Praiz100 - (10 cdot -20) + 400 + 3cdot25 = Praiz775
Igualando à tensão de escoamento:
Praiz775 = 160 Longrightarrow P = 160raiz775 approx 5,75,kN

Resposta

Pₘáx (Tresca) ≈ 5,06 kN; Pₘáx (von Mises) ≈ 5,75 kN

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