Trabalhe com 4 casas decimais e arredondamento padrão.
Teste as séries quanto a convergência ou divergência:
(a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+2)}{(n+3)^{2}}\, use o teste da divergência.

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência ou divergência da soma
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+2)}{(n+3)^{2}},
usando o teste da divergência. Informações dadas:
  • A sequência dos termos gerais é \displaystyle a_n=\frac{n(n+2)}{(n+3)^2}.
  • A pergunta é: a série converge ou diverge?

Passo 2

Enunciado do teste da divergência (explicado de forma simples): se \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 (ou não existe), então a série \displaystyle \sum a_n diverge. Intuição rápida: para uma soma infinita convergir, os termos individuais precisam ir a zero; se não vão a zero, somar infinitos termos parecidos com um número não-nulo tende a dar infinito (ou não ter limite).

Passo 3

Vamos calcular a \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n. Escrevendo a_n de forma que fique claro o comportamento para grandes n:
a_n=\frac{n(n+2)}{(n+3)^2}=\frac{n^2+2n}{n^2+6n+9}=\frac{1+\dfrac{2}{n}}{1+\dfrac{6}{n}+\dfrac{9}{n^2}}.
Agora tome o limite quando n\to\infty. Como \dfrac{2}{n}\to0, \dfrac{6}{n}\to0 e \dfrac{9}{n^2}\to0, obtemos
\lim_{n\to\infty} a_n=\frac{1+0}{1+0+0}=1.
Apresentando com quatro casas decimais (pedidas no enunciado): \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 1{,}0000.

Passo 4

Aplicando o teste da divergência: como \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 1{,}0000 \neq 0, a série não pode convergir. Portanto a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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