Trabalhe com 4 casas decimais e arredondamento padrão.
Resolva o sistema linear, usando o processo de eliminação de Gauss (sem pivoteamento),
\left\{\begin{array}{c} 3 x_{1}+4 x_{2}+x_{3}=13 \\\\ 2 x_{1}-2 x_{2}+3 x_{3}=11 \\\ x_{1}+x_{2}-2 x_{3}=-3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear e pede que se resolva usando o processo de eliminação de Gauss (sem pivoteamento). Também pede que se trabalhe com 4 casas decimais (arredondamento padrão). Os dados são:
\begin{cases} 3x_{1}+4x_{2}+x_{3}=13,\\[4pt] 2x_{1}-2x_{2}+3x_{3}=11,\\[4pt] x_{1}+x_{2}-2x_{3}=-3. \end{cases}
O que é pedido:
  • Encontrar x_{1},x_{2},x_{3} usando eliminação de Gauss sem pivoteamento.
  • Apresentar a resposta com 4 casas decimais (arredondamento padrão).]

Passo 2

Explicação breve (didática) do método que vamos usar:
  • Colocamos o sistema na forma de matriz aumentada e aplicamos operações elementares por linhas: trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo e adicionar múltiplos de uma linha a outra. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.
  • O objetivo é transformar a matriz aumentada numa matriz triangular superior (zeros abaixo da diagonal principal) e então aplicar substituição para obter as incógnitas.
  • Aqui não faremos pivoteamento: usaremos diretamente as linhas na ordem dada.
Matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 4 & 1 & 13\\[4pt] 2 & -2 & 3 & 11\\[4pt] 1 & 1 & -2 & -3 \end{array}\right]]

Passo 3

Eliminar x_{1} das linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô.
Multiplicadores:
m_{21}=\frac{2}{3},\qquad m_{31}=\frac{1}{3}.
Aplicamos L_{2}\leftarrow L_{2}-m_{21}L_{1} e L_{3}\leftarrow L_{3}-m_{31}L_{1}.
Calculemos L_{2}-\frac{2}{3}L_{1}:
L_{1}\cdot\frac{2}{3}=\left[\;2,\;\frac{8}{3},\;\frac{2}{3}\;\bigg|\;\frac{26}{3}\;\right].
L_{2}-\frac{2}{3}L_{1}=\left[\;2,\;-2,\;3\;\bigg|\;11\;\right]-\left[\;2,\;\frac{8}{3},\;\frac{2}{3}\;\bigg|\;\frac{26}{3}\;\right] =\left[\;0,\;-\frac{14}{3},\;\frac{7}{3}\;\bigg|\;\frac{7}{3}\;\right].
Calculemos L_{3}-\frac{1}{3}L_{1}:
L_{1}\cdot\frac{1}{3}=\left[\;1,\;\frac{4}{3},\;\frac{1}{3}\;\bigg|\;\frac{13}{3}\;\right].
L_{3}-\frac{1}{3}L_{1}=\left[\;1,\;1,\;-2\;\bigg|\;-3\;\right]-\left[\;1,\;\frac{4}{3},\;\frac{1}{3}\;\bigg|\;\frac{13}{3}\;\right] =\left[\;0,\;-\frac{1}{3},\;-\frac{7}{3}\;\bigg|\;-\frac{22}{3}\;\right].
A matriz aumentada após essas operações:
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 4 & 1 & 13\\[4pt] 0 & -\dfrac{14}{3} & \dfrac{7}{3} & \dfrac{7}{3}\\[8pt] 0 & -\dfrac{1}{3} & -\dfrac{7}{3} & -\dfrac{22}{3} \end{array}\right]]

Passo 4

Agora usamos a linha 2 como pivô para eliminar x_{2} na linha 3.
Pivô na linha 2 (segunda coluna) é -\dfrac{14}{3}. O multiplicador para zerar a entrada de L_{3} é
m_{32}=\frac{-\tfrac{1}{3}}{-\tfrac{14}{3}}=\frac{-1/3}{-14/3}=\frac{1}{14}.
Aplicamos L_{3}\leftarrow L_{3}-m_{32}L_{2}=L_{3}-\frac{1}{14}L_{2}.
Calculemos \frac{1}{14}L_{2}:
\frac{1}{14}L_{2}=\left[\;0,\;-\frac{1}{3},\;\frac{1}{6}\;\bigg|\;\frac{1}{6}\;\right].
Agora subtrai-se:
L_{3}-\frac{1}{14}L_{2} =\left[\;0,\;-\frac{1}{3},\;-\frac{7}{3}\;\bigg|\;-\frac{22}{3}\;\right]-\left[\;0,\;-\frac{1}{3},\;\frac{1}{6}\;\bigg|\;\frac{1}{6}\;\right] =\left[\;0,\;0,\;-\frac{15}{6}\;\bigg|\;-\frac{45}{6}\;\right].
Simplificando as frações:
-\frac{15}{6}=-\frac{5}{2},\qquad -\frac{45}{6}=-\frac{15}{2}.
A matriz triangular superior final é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 4 & 1 & 13\\[4pt] 0 & -\dfrac{14}{3} & \dfrac{7}{3} & \dfrac{7}{3}\\[8pt] 0 & 0 & -\dfrac{5}{2} & -\dfrac{15}{2} \end{array}\right]]

Passo 5

Agora fazemos substituição regressiva (back-substitution) a partir da última equação.
Última equação (linha 3) é
-\frac{5}{2}x_{3}=-\frac{15}{2}.
Dividindo ambos os lados por -\dfrac{5}{2}:
x_{3}=\frac{-\tfrac{15}{2}}{-\tfrac{5}{2}}=\frac{-15/2}{-5/2}=3.

Passo 6

Segunda equação (linha 2) é
-\frac{14}{3}x_{2}+\frac{7}{3}x_{3}=\frac{7}{3}.
Substituindo x_{3}=3:
-\frac{14}{3}x_{2}+\frac{7}{3}\cdot 3=\frac{7}{3}.
Calcule \frac{7}{3}\cdot 3 =7. Então
-\frac{14}{3}x_{2}+7=\frac{7}{3}.
Isolando x_{2}:
-\frac{14}{3}x_{2}=\frac{7}{3}-7=\frac{7}{3}-\frac{21}{3}=-\frac{14}{3}.
Logo
x_{2}=\frac{-\tfrac{14}{3}}{-\tfrac{14}{3}}=1.

Passo 7

Primeira equação (linha 1) é
3x_{1}+4x_{2}+x_{3}=13.
Substituindo x_{2}=1 e x_{3}=3:
3x_{1}+4\cdot 1 + 3 = 13 \quad\Rightarrow\quad 3x_{1}+7=13.
Logo
3x_{1}=6 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=2.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): substituir (x_{1},x_{2},x_{3})=(2,1,3) nas três equações originais:
Primeira: 3\cdot2+4\cdot1+1\cdot3=6+4+3=13 OK.
Segunda: 2\cdot2-2\cdot1+3\cdot3=4-2+9=11 OK.
Terceira: 1\cdot2+1\cdot1-2\cdot3=2+1-6=-3 OK.

Passo 9

A solução exata é (x_{1},x_{2},x_{3})=(2,1,3). Agora apresento com 4 casas decimais (arredondamento padrão):
x_{1}=2{,}0000,\qquad x_{2}=1{,}0000,\qquad x_{3}=3{,}0000.

Resposta

x_{1}=2{,}0000
x_{2}=1{,}0000
x_{3}=3{,}0000

Exercícios relacionados