Exercício 5.
Determine o comprimento da curva \vec{r}(t)=\left(t, 2 t, t^{2}\right) para 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica \vec{r}(t)=\bigl(t,\,2t,\,t^{2}\bigr) no intervalo 0 \le t \le 1 e pede o comprimento dessa curva (a distância percorrida pelo ponto quando t vai de 0 a 1).\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A função vetorial é \vec{r}(t)=\bigl(t,\,2t,\,t^{2}\bigr).
  • O intervalo de parâmetro é t\in[0,1].
  • O objetivo é calcular o comprimento da curva entre t=0 e t=1.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula que vamos usar (aqui explico o porquê e a ideia): se uma curva tridimensional é dada por \vec{r}(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) para t\in[a,b], o comprimento da curva é
L=\int_{a}^{b} \bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\|\,dt.
Explicando isso com calma: \vec{r}\,'(t) é o vetor velocidade que descreve como cada coordenada muda com t. O comprimento infinitesimal ao longo da curva quando t muda de t para t+dt é aproximadamente \bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\|\,dt. Somando (integrando) esses pedacinhos de comprimento ao longo do intervalo [a,b] obtemos o comprimento total. Aqui \|\cdot\| é a norma euclidiana do vetor, ou seja, se \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) então \|\vec{v}\|=\sqrt{v_1^{2}+v_2^{2}+v_3^{2}}.

Passo 3

Calcular \vec{r}\,'(t) coordenada a coordenada:
\vec{r}\,'(t)=\bigl(x'(t),\,y'(t),\,z'(t)\bigr)=\bigl(1,\,2,\,2t\bigr),
pois d(t)/dt=1, d(2t)/dt=2 e d(t^{2})/dt=2t.
Agora a norma de \vec{r}\,'(t) é
\bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+(2t)^{2}}=\sqrt{1+4+4t^{2}}=\sqrt{5+4t^{2}}.

Passo 4

Pela fórmula do comprimento, o comprimento pedido é
L=\int_{0}^{1}\sqrt{5+4t^{2}}\,dt.
Vamos calcular essa integral. Ela não é uma integral elementar de polinômio, então faremos uma substituição simples para facilitar: note que 4t^{2}=(2t)^{2}. Faço a substituição u=2t, daí du=2\,dt ou dt=\dfrac{du}{2}. Quando t=0 temos u=0 e quando t=1 temos u=2. Assim
L=\int_{0}^{1}\sqrt{5+4t^{2}}\,dt=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\sqrt{5+u^{2}}\,du.

Passo 5

Agora precisamos da primitiva de \sqrt{u^{2}+a^{2}} com a^{2}=5. Há uma primitiva padrão:
\int \sqrt{u^{2}+a^{2}}\,du=\frac{u}{2}\sqrt{u^{2}+a^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\ln\!\bigl(u+\sqrt{u^{2}+a^{2}}\bigr)+C.
Breve explicação de onde vem essa fórmula (sem pular etapas importantes): pode-se obter por uma substituição trigonométrica u=a\tan\theta ou por substituição hiperbólica u=a\operatorname{sinh} s; ambas transformam a raiz em funções trigonométricas simples e levam ao mesmo resultado. O termo \dfrac{u}{2}\sqrt{u^{2}+a^{2}} aparece do produto direto ao reescrever a integral, e o termo logarítmico surge ao integrar a parte que fica depois da integração por partes (ou ao integrar \operatorname{sec}^{3}\theta na via trigonométrica). O importante aqui é usar a fórmula com a^{2}=5.

Passo 6

Aplicando a primitiva ao nosso caso com a^{2}=5 e calculando a integral definida:
\int_{0}^{2}\sqrt{u^{2}+5}\,du
tem primitiva
F(u)=\frac{u}{2}\sqrt{u^{2}+5}+\frac{5}{2}\ln\!\bigl(u+\sqrt{u^{2}+5}\bigr).
Avalio entre 0 e 2:
F(2)=\frac{2}{2}\sqrt{4+5}+\frac{5}{2}\ln\!\bigl(2+\sqrt{9}\bigr)=1\cdot 3+\frac{5}{2}\ln 5=3+\frac{5}{2}\ln 5,
F(0)=\frac{0}{2}\sqrt{0+5}+\frac{5}{2}\ln\!\bigl(0+\sqrt{5}\bigr)=0+\frac{5}{2}\ln\!\bigl(\sqrt{5}\bigr)=\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{2}\ln 5=\frac{5}{4}\ln 5.
Então a integral definida vale
\int_{0}^{2}\sqrt{u^{2}+5}\,du=F(2)-F(0)=\left(3+\frac{5}{2}\ln 5\right)-\frac{5}{4}\ln 5=3+\frac{5}{4}\ln 5.

Passo 7

Lembrando do fator \tfrac{1}{2} que apareceu na substituição u=2t, temos
L=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\sqrt{u^{2}+5}\,du=\frac{1}{2}\left(3+\frac{5}{4}\ln 5\right)=\frac{3}{2}+\frac{5}{8}\ln 5.
Se quiser uma aproximação numérica para conferir a ordem de grandeza:
\ln 5\approx 1{,}6094379\quad\Rightarrow\quad L\approx 1{,}5 + \frac{5}{8}\cdot 1{,}6094379 \approx 1{,}5 + 1{,}0059 \approx 2{,}5059.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}+\frac{5}{8}\ln 5

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