Exercício 5.
Determine o comprimento da curva \vec{r}(t)=\left(t, 2 t, t^{2}\right) para 0 \leq t \leq 1.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica \vec{r}(t)=\bigl(t,\,2t,\,t^{2}\bigr) no intervalo 0 \le t \le 1 e pede o comprimento dessa curva (a distância percorrida pelo ponto quando t vai de 0 a 1).\n
Informações relevantes fornecidas:
A função vetorial é \vec{r}(t)=\bigl(t,\,2t,\,t^{2}\bigr).
O intervalo de parâmetro é t\in[0,1].
O objetivo é calcular o comprimento da curva entre t=0 e t=1.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula que vamos usar (aqui explico o porquê e a ideia): se uma curva tridimensional é dada por \vec{r}(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) para t\in[a,b], o comprimento da curva é
L=\int_{a}^{b} \bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\|\,dt.
Explicando isso com calma: \vec{r}\,'(t) é o vetor velocidade que descreve como cada coordenada muda com t. O comprimento infinitesimal ao longo da curva quando t muda de t para t+dt é aproximadamente \bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\|\,dt. Somando (integrando) esses pedacinhos de comprimento ao longo do intervalo [a,b] obtemos o comprimento total. Aqui \|\cdot\| é a norma euclidiana do vetor, ou seja, se \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) então \|\vec{v}\|=\sqrt{v_1^{2}+v_2^{2}+v_3^{2}}.
Pela fórmula do comprimento, o comprimento pedido é
L=\int_{0}^{1}\sqrt{5+4t^{2}}\,dt.
Vamos calcular essa integral. Ela não é uma integral elementar de polinômio, então faremos uma substituição simples para facilitar: note que 4t^{2}=(2t)^{2}. Faço a substituição u=2t, daí du=2\,dt ou dt=\dfrac{du}{2}. Quando t=0 temos u=0 e quando t=1 temos u=2. Assim
Breve explicação de onde vem essa fórmula (sem pular etapas importantes): pode-se obter por uma substituição trigonométrica u=a\tan\theta ou por substituição hiperbólica u=a\operatorname{sinh} s; ambas transformam a raiz em funções trigonométricas simples e levam ao mesmo resultado. O termo \dfrac{u}{2}\sqrt{u^{2}+a^{2}} aparece do produto direto ao reescrever a integral, e o termo logarítmico surge ao integrar a parte que fica depois da integração por partes (ou ao integrar \operatorname{sec}^{3}\theta na via trigonométrica). O importante aqui é usar a fórmula com a^{2}=5.
Passo 6
Aplicando a primitiva ao nosso caso com a^{2}=5 e calculando a integral definida: