Exercício 6.
Encontre o ponto de interseção da reta
com o plano
.
Encontre o ponto de interseção da reta
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o ponto de interseção entre a reta
e o plano
.
Informações dadas:
- A reta está dada parametricamente por
- O plano é o conjunto de pontos
que satisfazem
O que se pede: determinar o valor de
para o qual o ponto
pertence ao plano, e então obter as coordenadas do ponto de interseção.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática):
- A reta dá as coordenadas de um ponto qualquer sobre ela em função do parâmetro
. - Um ponto está no plano se, e somente se, suas coordenadas satisfazem a equação do plano.
- Portanto substitui-se
, , na equação do plano e resolve-se para .
Essa substituição transforma a equação do plano numa equação em. Resolver essa equação dá o parâmetro do ponto de interseção; então usa-se esse para obter as coordenadas.
Passo 3
Substituir
,
,
na equação do plano e resolver para
.
Substituindo:
Agora desenvolver cada termo:
Somando tudo:
Agrupando constantes e termos em
:
Resolver
:
Passo 4
Calcular as coordenadas do ponto substituindo
nas expressões paramétricas.
Portanto o ponto de interseção tem coordenadas
.
Passo 5
Verificação rápida (sempre bom checar):
Substituir o ponto na equação do plano:
Substituir o ponto na equação do plano:
que satisfaz a equação do plano, logo está correto.