Exercício 6.
Encontre o ponto de interseção da reta \vec{r}(t)=(1+t, 2-t, 3+2 t) com o plano 2 x-y+z=4.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o ponto de interseção entre a reta \vec{r}(t)=(1+t,\,2-t,\,3+2t) e o plano 2x-y+z=4.
Informações dadas:
  • A reta está dada parametricamente por
x(t)=1+t,\qquad y(t)=2-t,\qquad z(t)=3+2t.
  • O plano é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem
2x-y+z=4.
O que se pede: determinar o valor de t para o qual o ponto \vec{r}(t) pertence ao plano, e então obter as coordenadas do ponto de interseção.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática):
  • A reta dá as coordenadas de um ponto qualquer sobre ela em função do parâmetro t.
  • Um ponto está no plano se, e somente se, suas coordenadas satisfazem a equação do plano.
  • Portanto substitui-se x=x(t), y=y(t), z=z(t) na equação do plano e resolve-se para t.
    Essa substituição transforma a equação do plano numa equação em t. Resolver essa equação dá o parâmetro t do ponto de interseção; então usa-se esse t para obter as coordenadas.

Passo 3

Substituir x(t), y(t), z(t) na equação do plano e resolver para t.
2x-y+z=4
Substituindo:
2(1+t)-(2-t)+(3+2t)=4.
Agora desenvolver cada termo:
2(1+t)=2+2t, \qquad -(2-t)=-2+t, \qquad 3+2t=3+2t.
Somando tudo:
(2+2t)+(-2+t)+(3+2t)=4.
Agrupando constantes e termos em t:
(2-2+3)+(2t+t+2t)=3+5t=4.
Resolver 3+5t=4:
5t=1 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{1}{5}.

Passo 4

Calcular as coordenadas do ponto substituindo t=\dfrac{1}{5} nas expressões paramétricas.
x=1+t=1+\frac{1}{5}=\frac{6}{5},
y=2-t=2-\frac{1}{5}=\frac{9}{5},
z=3+2t=3+2\cdot\frac{1}{5}=3+\frac{2}{5}=\frac{17}{5}.
Portanto o ponto de interseção tem coordenadas \left(\dfrac{6}{5},\dfrac{9}{5},\dfrac{17}{5}\right).

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom checar):
Substituir o ponto na equação do plano:
2\cdot\frac{6}{5}-\frac{9}{5}+\frac{17}{5}=\frac{12-9+17}{5}=\frac{20}{5}=4,
que satisfaz a equação do plano, logo está correto.

Resposta

\left(\dfrac{6}{5},\dfrac{9}{5},\dfrac{17}{5}\right)

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