Exercício 8. Determine condições sobre b para que o vetor V=(l1 b 5) seja perpendicular a algum vetor da forma W=(cx^2 x 1), para x um número real.

Passo 1

O enunciado pede para achar as condições sobre tais que exista um real fazendo o vetor
ser perpendicular a algum vetor da forma
O conteúdo aqui é produto escalar e ortogonalidade: é perpendicular a se, e só se, o produto escalar for zero.

Passo 2

Escrevendo a condição de ortogonalidade pelo produto escalar, temos
Vcdot W = 1cdot x^2 + bcdot x + 5cdot 1 = x^2 + b x + 5 = 0
Logo, devemos ter solução real para a equação quadrática
x^2 + b x + 5 = 0

Passo 3

Para que uma equação quadrática x^2 + b x + 5 = 0 tenha raízes reais, seu discriminante De<a deve satisfazer
De<a = b^2 - 4cdot1cdot5 = b^2 - 20 >= 0

Passo 4

Resolvendo a desigualdade do discriminante, obtemos
b^2 - 20 >= 0 Longrightarrow b^2 >= 20 Longrightarrow b <= -2raiz5 ou b >= 2raiz5

Resposta

As condições sobre b são
b <= -2raiz5 ou b >= 2raiz5

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