Uma população de bactérias está crescendo a uma taxa dada por dPdt=30001+0,25 t, onde t é o tempo em dias. No instante t=0, existem 1000 bactérias.
Após quantos dias a população terá aumentado para 12.000 bactérias?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre o crescimento de uma população de bactérias. A taxa de crescimento dessa população é dada por uma equação diferencial: dPdt = 30001 + 0,25 t, onde P é o número de bactérias e t é o tempo em dias. No início ( t = 0), já temos 1000 bactérias. A pergunta é: depois de quantos dias a população vai chegar a 12.000 bactérias?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração de equações diferenciais. Vamos precisar integrar a taxa de crescimento para achar a função que descreve P(t), e então encontrar o valor de t que faz P(t) = 12000.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial:
dPdt = 30001 + 0,25 t
Nossa meta é encontrar P(t), que nos diz o número de bactérias em qualquer momento t. Para isso, vamos integrar ambos os lados da equação com relação a t.

Passo 3

Vamos integrar a taxa de crescimento para achar P(t):
integral dPdt , dt = integral 30001 + 0,25 t , dt
Do lado esquerdo, a integral da derivada de P em relação a t é simplesmente P:
P = integral 30001 + 0,25 t , dt + C
Onde C é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral no lado direito. Podemos simplificar a integral fazendo uma substituição. Vamos deixar u = 1 + 0,25 t, então du = 0,25 , dt, ou seja, dt = du0,25.
Substituindo na integral:
integral 3000u cdot du0,25 = 30000,25 integral 1u , du = 12000 ln|u| + C
Voltando para t:
P = 12000 ln(1 + 0,25 t) + C

Passo 5

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar a constante C. Sabemos que quando t = 0, P = 1000:
1000 = 12000 ln(1 + 0,25 cdot 0) + C 1000 = 12000 ln(1) + C 1000 = 12000 cdot 0 + C C = 1000
Então, a função que descreve P(t) é:
P(t) = 12000 ln(1 + 0,25 t) + 1000

Passo 6

Queremos descobrir quando P(t) = 12000. Vamos substituir na equação:
12000 = 12000 ln(1 + 0,25 t) + 1000
Vamos isolar o logaritmo:
12000 ln(1 + 0,25 t) = 12000 - 1000 12000 ln(1 + 0,25 t) = 11000 ln(1 + 0,25 t) = 1100012000 ln(1 + 0,25 t) = 1112

Passo 7

Para resolver para t, vamos usar a função exponencial para eliminar o logaritmo:
1 + 0,25 t = e^1112
Agora, isolamos t:
0,25 t = e^1112 - 1 t = e^1112 - 10,25

Passo 8

Finalmente, vamos calcular o valor numérico. Primeiro, calculamos e^1112:
e^1112 approx e^0,9167 approx 2,500
Então:
t = 2,500 - 10,25 t = 1,5000,25 t = 6 dias

Resposta

A população de bactérias atingirá 12.000 indivíduos após aproximadamente 6 dias.

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