Uma população de bactérias está crescendo a uma taxa dada por
, onde t é o tempo em dias. No instante
, existem 1000 bactérias.
Após quantos dias a população terá aumentado para 12.000 bactérias?
Após quantos dias a população terá aumentado para 12.000 bactérias?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre o crescimento de uma população de bactérias. A taxa de crescimento dessa população é dada por uma equação diferencial:
, onde
é o número de bactérias e
é o tempo em dias. No início (
), já temos 1000 bactérias. A pergunta é: depois de quantos dias a população vai chegar a 12.000 bactérias?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração de equações diferenciais. Vamos precisar integrar a taxa de crescimento para achar a função que descreve
, e então encontrar o valor de
que faz
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial:
Nossa meta é encontrar
, que nos diz o número de bactérias em qualquer momento
. Para isso, vamos integrar ambos os lados da equação com relação a
.
Passo 3
Vamos integrar a taxa de crescimento para achar
:
Do lado esquerdo, a integral da derivada de
em relação a
é simplesmente
:
Onde
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral no lado direito. Podemos simplificar a integral fazendo uma substituição. Vamos deixar
, então
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Voltando para
:
Passo 5
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar a constante
. Sabemos que quando
,
:
Então, a função que descreve
é:
Passo 6
Queremos descobrir quando
. Vamos substituir na equação:
Vamos isolar o logaritmo:
Passo 7
Para resolver para
, vamos usar a função exponencial para eliminar o logaritmo:
Agora, isolamos
:
Passo 8
Finalmente, vamos calcular o valor numérico. Primeiro, calculamos
:
Então:
Resposta
A população de bactérias atingirá 12.000 indivíduos após aproximadamente 6 dias.