Exercício 8.0.1. Determine, quais dos conjuntos abaixo são espaços vetoriais com as operações dadas. Para os que não são liste todas as propriedades que falham.
V=[lla & 1 1 & b] in M(2): a, b in R com as operações usuais em M(2).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
V = a & 11 & bin M(2)mid a,binR
é um espaço vetorial sobre R com as operações usuais de M(2). Para isso, precisamos checar todos os axiomas de espaço vetorial (fechamento em adição, existência de zero, inverso aditivo, fechamento em multiplicação escalar etc.).

Passo 2

Verificamos o fechamento em adição. Tomemos
A=a1 & 11 & b1, B=a2 & 11 & b2
em V. Então
A+B =a1+a2 & 22 & b1+b2
Como os elementos fora da diagonal são 2, essa soma não está em V (que exige esses elementos iguais a 1). Logo, falha o fechamento em adição.

Passo 3

Verificamos a existência do vetor zero. O zero de M(2) é
0M(2)=0 & 00 & 0
Mas esse não pertence a V, pois em V os elementos fora da diagonal devem ser 1. Logo, não existe vetor nulo em V.

Passo 4

Verificamos o inverso aditivo. Para
A=a & 11 & bin V,
o inverso em M(2) seria
-,A =-a & -1-1 & -b,
onde os elementos fora da diagonal são -1, não 1. Logo, -Anotin V e não existe inverso aditivo em V.

Passo 5

Verificamos o fechamento em multiplicação escalar. Para lambdainR e
A=a & 11 & bin V,
temos
lambda A =lambda a & lambdalambda & lambda b
Novamente, os elementos fora da diagonal ficam lambda, que só valem 1 se lambda=1. Assim, falha o fechamento em multiplicação escalar.

Resposta

V não é espaço vetorial. As propriedades que falham são:
  • Fechamento em adição.
  • Existência do vetor nulo.
  • Existência do inverso aditivo.
  • Fechamento em multiplicação escalar.

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