Exercício 8.0.1. Determine, quais dos conjuntos abaixo são espaços vetoriais com as operações dadas. Para os que não são liste todas as propriedades que falham. com as operações usuais em M(2).
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
V = a & 11 & bin M(2)mid a,binR
é um espaço vetorial sobre R com as operações usuais de M(2). Para isso, precisamos checar todos os axiomas de espaço vetorial (fechamento em adição, existência de zero, inverso aditivo, fechamento em multiplicação escalar etc.).
Passo 2
Verificamos o fechamento em adição. Tomemos
A=a1 & 11 & b1, B=a2 & 11 & b2
em V. Então
A+B =a1+a2 & 22 & b1+b2
Como os elementos fora da diagonal são 2, essa soma não está em V (que exige esses elementos iguais a 1). Logo, falha o fechamento em adição.
Passo 3
Verificamos a existência do vetor zero. O zero de M(2) é
0M(2)=0 & 00 & 0
Mas esse não pertence a V, pois em V os elementos fora da diagonal devem ser 1. Logo, não existe vetor nulo em V.
Passo 4
Verificamos o inverso aditivo. Para
A=a & 11 & bin V,
o inverso em M(2) seria
-,A =-a & -1-1 & -b,
onde os elementos fora da diagonal são -1, não 1. Logo, -Anotin V e não existe inverso aditivo em V.
Passo 5
Verificamos o fechamento em multiplicação escalar. Para lambdainR e
A=a & 11 & bin V,
temos
lambda A =lambda a & lambdalambda & lambda b
Novamente, os elementos fora da diagonal ficam lambda, que só valem 1 se lambda=1. Assim, falha o fechamento em multiplicação escalar.
Resposta
V não é espaço vetorial. As propriedades que falham são: