Considere a matriz invertível B=[rrrr-1 & -1 & 1 & 1 1 & 0 & 0 & -1 -1 & 0 & 1 & 0 1 & 1 & -1 & 0]. Considere ainda uma matriz C invertível tal que sua inversa é dada por: C^-1=[rrrr-1 & 0 & 0 & 0 0 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 1].
A soma dos elementos da primeira linha da matriz (B C)^-1 vale:
a). 9
b). 11
c). -3
d). 8
e). 5

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes invertíveis B e C e pede a soma dos elementos da primeira linha de (B,C)^-1. Para isso vamos usar a propriedade de inversão de produto de matrizes e interpretar essa soma como componente de um produto de matriz por vetor.

Passo 2

Usando (B,C)^-1=C^-1B^-1, seja D=(B,C)^-1=C^-1B^-1. Como C^-1 é diagonal com (C^-1)11=-1, a primeira linha de D é simplesmente -1 vezes a primeira linha de B^-1. Logo
soma da linha 1 de D =-,soma da linha 1 de B^-1

Passo 3

A soma dos elementos da primeira linha de B^-1 é o primeiro componente do vetor B^-11, onde 1=[1,1,1,1]^T. Definindo x=B^-11, temos
B,x=1

Passo 4

Escrevendo x=(x1,x2,x3,x4)^T, o sistema B,x=1 fica
-,x1 - x2 + x3 + x4 = 1, x1 - x4 = 1, -,x1 + x3 = 1, x1 + x2 - x3 = 1

Passo 5

Da segunda equação vem x4 = x1 -1. Da terceira, x3 = x1 +1. Da quarta, x2 = 2. Inserindo tudo na primeira:
-,x1 - 2 + (x1+1) + (x1-1) = 1 Longrightarrow x1 = 3
Assim x=(3,2,4,2)^T.

Passo 6

Portanto a soma da primeira linha de B^-1 é x1=3, e a soma da primeira linha de (B,C)^-1 vale -3.

Resposta

-3

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