Considere a matriz invertível . Considere ainda uma matriz C invertível tal que sua inversa é dada por: C^-1=[rrrr-1 & 0 & 0 & 0 0 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 1].
A soma dos elementos da primeira linha da matriz (B C)^-1 vale:
a). 9
b). 11
c). -3
d). 8
e). 5
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes invertíveis B e C e pede a soma dos elementos da primeira linha de (B,C)^-1. Para isso vamos usar a propriedade de inversão de produto de matrizes e interpretar essa soma como componente de um produto de matriz por vetor.
Passo 2
Usando (B,C)^-1=C^-1B^-1, seja D=(B,C)^-1=C^-1B^-1. Como C^-1 é diagonal com (C^-1)11=-1, a primeira linha de D é simplesmente -1 vezes a primeira linha de B^-1. Logo
soma da linha 1 de D =-,soma da linha 1 de B^-1
Passo 3
A soma dos elementos da primeira linha de B^-1 é o primeiro componente do vetor B^-11, onde 1=[1,1,1,1]^T. Definindo x=B^-11, temos
B,x=1
Passo 4
Escrevendo x=(x1,x2,x3,x4)^T, o sistema B,x=1 fica