Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}). \overrightarrow{M G}
Passo 1
O enunciado pede: determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{M G} com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}).
Informações relevantes dadas (observadas na figura):
Há um reticulado regular de paralelogramos com 5 colunas e 3 linhas de nós.
Na coluna 0 (mais à esquerda) estão, de baixo para cima, os pontos A, K, B.
Na coluna 1 estão F, L, E.
Na coluna 2 estão H, M, G.
Na coluna 3 estão J, N, I.
Na coluna 4 estão D, P, C.
A base dada é \big(\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}\big), ou seja, \overrightarrow{A F} é um “passo” horizontal de coluna para coluna e \overrightarrow{A B} é o vetor que vai de A até o ponto superior da mesma coluna (do fundo diretamente até o topo daquela coluna).
A pergunta específica: representar \overrightarrow{M G} como combinação linear de \overrightarrow{A F} e \overrightarrow{A B}; isto é, achar escalares x,y tais que \overrightarrow{M G}=x\,\overrightarrow{A F}+y\,\overrightarrow{A B}.
Passo 2
Conceito usado (explicação didática): o que significa “coordenadas de um vetor numa base”.
Se a base é \big(\mathbf{u},\mathbf{v}\big), dizer que um vetor \mathbf{w} tem coordenadas \big(x,y\big) nessa base significa que
\mathbf{w}=x\,\mathbf{u}+y\,\mathbf{v}.
Aqui \mathbf{u}=\overrightarrow{A F} e \mathbf{v}=\overrightarrow{A B}. Logo precisamos escrever \overrightarrow{M G} como combinação dessas duas direções. A estratégia padrão: escrever as posições de G e de M relativamente ao ponto de referência A, subtrair para obter \overrightarrow{M G}=\overrightarrow{A G}-\overrightarrow{A M}, e então expressar cada um em função de \overrightarrow{A F} e \overrightarrow{A B}.
Passo 3
Identificar as posições (pegadas da figura) em termos de passos de coluna e linha:
Um nó na coluna i e na linha inferior corresponde a \overrightarrow{A(\text{nó})}=i\,\overrightarrow{A F}+0\cdot\overrightarrow{A B}ó.
Um nó na mesma coluna, na linha do meio (entre A e B), corresponde a \overrightarrow{A(\text{nó})}=i\,\overrightarrow{A F}+\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{A B}ó.
Um nó na mesma coluna, na linha superior corresponde a \overrightarrow{A(\text{nó})}=i\,\overrightarrow{A F}+1\cdot\overrightarrow{A B}ó.
Essas igualdades decorrem do fato visível na imagem: a coluna 2 contém, de baixo para cima, H (linha inferior), M (linha do meio) e G (linha superior), ou seja, M fica a meio caminho entre H e G verticalmente, e mover-se uma coluna à direita corresponde a somar \overrightarrow{A F}.
Passo 4
Escrever \overrightarrow{A G} e \overrightarrow{A M} em função de \overrightarrow{A F} e \overrightarrow{A B} (usando a informação da figura de que G e M estão na coluna 2):
Pela observação da posição de G (coluna 2, linha superior),
(Estas expressões foram obtidas a partir da leitura direta da figura: both estão na mesma coluna número 2; G está na linha superior, M na linha intermediária.)
Passo 5
Calcular \overrightarrow{M G}=\overrightarrow{A G}-\overrightarrow{A M} e simplificar: